Examkin

Question

Difficulty: MediumKüp

Bir küpte, bir cisim köşegeni ile bu cisim köşegeniyle ortak bir köşeye sahip olan yüzey köşegenlerinden biri arasındaki açının kosinüsü kaçtır?

  1. A
    33\frac{\sqrt{3}}{3}
  2. B
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  3. 63\frac{\sqrt{6}}{3}Answer
  4. D
    22\frac{\sqrt{2}}{2}
  5. E
    62\frac{\sqrt{6}}{2}

Answer

Kosinu¨sdeg˘eri63olansec\cenektir.Kosinüs değeri \frac{\sqrt{6}}{3} olan seçenektir.
Küpün bir kenar uzunluğuna aa dersek, yüzey köşegeninin uzunluğu a2a\sqrt{2} ve cisim köşegeninin uzunluğu a3a\sqrt{3} olur. Cisim köşegeni, komşu olduğu yüzey köşegeni ve küpün bir ayrıtı ile bir dik üçgen oluşturur. Bu dik üçgende cisim köşegeni hipotenüs, yüzey köşegeni ise komşu dik kenardır. Dolayısıyla bu iki köşegen arasındaki açının kosinüsü, komşu dik kenarın hipotenüse oranından a2a3=63\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Küpün bir kenar uzunluğunu harflendirerek yüzey köşegeninin uzunluğunu bulunuz.
Küpün bir ayrıtının uzunluğu aa olsun. Bir yüzdeki dik üçgenden Pisagor bağıntısı kullanılarak yüzey köşegeninin uzunluğu a2a\sqrt{2} olarak bulunur.
Cisim köşegeni ile yüzey köşegeni arasındaki açıyı bulabilmek için öncelikle bu köşegenlerin uzunluklarını küpün ayrıtı cinsinden ifade etmemiz gerekir.
2
Küpün cisim köşegeninin uzunluğunu Pisagor bağıntısı yardımıyla bulunuz.
Cisim köşegeni, yüzey köşegeni ve bu köşegenlerin birleştiği dikey ayrıtın oluşturduğu dik üçgende Pisagor bağıntısı uygulanarak cisim köşegeninin uzunluğu (a2)2+a2=a3\sqrt{(a\sqrt{2})^2 + a^2} = a\sqrt{3} olarak bulunur.
Açının trigonometrik oranlarını hesaplayacağımız dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu belirlemek için cisim köşegeninin uzunluğunu hesaplamalıyız.
3
Köşegenlerin oluşturdu��u dik üçgende aralarındaki açının kosinüs değerini hesaplayınız.
Cisim köşegeni ile yüzey köşegeni arasındaki açı θ\theta olsun. Bu dik üçgende cos⁡θ=Koms¸u Dik KenarHipotenu¨s=a2a3=23=63\cos\theta = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} olarak hesaplanır.
Kosinüs fonksiyonunun tanımı komşu dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranıdır.

Key Concept

Küpün elemanları (ayrıt, yüzey köşegeni, cisim köşegeni) arasındaki metrik ve açısal ilişkiler.
Rate this question

Topics

Küp

More questions from this topic