Bir kenar uzunluğu 12 birim olan bir ABCDA'B'C'D' küpünde, P noktası [AC] yüzey köşegeni ü… — ALES

Bir kenar uzunluğu $12$ birim olan bir $ABCDA'B'C'D'$ küpünde, $P$ noktası $[AC]$ yüzey köşegeni üzerinde ve $Q$ noktası $[C'D']$ ayrıtı üzerindedir.

$|AP| = 8\sqrt{2}$ birim ve $|D'Q| = 5$ birim olduğuna göre, $P$ ve $Q$ noktaları arasındaki en kısa uzaklık ( $|PQ|$ ) kaç birimdir?

Answer: 13 birim

Answer

P ve Q noktaları arasındaki en kısa uzaklık 13 birimdir.

Q noktasının taban düzlemindeki dik izdüşümü Q' olmak üzere, |QQ'| = 12 birimdir. Taban düzlemi olan ABCD karesinde P noktasının koordinatları (8, 8) ve Q' noktasının koordinatları (5, 12) olarak bulunur. Bu iki nokta arasındaki uzaklık Pisagor bağıntısı ile |PQ'| = 5 birim olarak elde edilir. QQ' doğrusu taban düzlemine dik olduğundan, P Q' Q dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulanarak |PQ|^2 = 5^2 + 12^2 = 169 bağıntısından en kısa uzaklık 13 birim olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

Q noktasının taban düzlemine (ABCD yüzeyine) olan dik izdüşüm noktasını belirleyin.

İzdüşüm noktası Q' olup, [CD] ayrıtı üzerindedir. D köşesine uzaklığı 5 birimdir ve düşey yükseklik |QQ'| = 12 birimdir.

Üç boyutlu uzayda uzaklık hesabı yapabilmek için noktaları aynı düzleme indirgemek ve düşey bileşeni belirlemek gerekir.

P noktasının kenarlara olan uzaklıklarını veya koordinatlarını bulun.

|AP| = 8\sqrt{2} birim ve ABCD bir kare olduğundan, A köşesini orijin (0,0) olarak kabul edersek P noktasının koordinatları (8, 8) olur.

Karede köşegen üzerindeki bir noktanın kenarlara olan uzaklıkları, 45-45-90 dik üçgeninin kenar özelliklerine göre belirlenir.

Taban düzlemindeki P ve Q' noktaları arasındaki yatay uzaklığı Pisagor bağıntısı ile hesaplayın.

P(8,8) ve Q'(5,12) noktaları arasındaki uzaklık |PQ'|^2 = (8-5)^2 + (12-8)^2 = 3^2 + 4^2 = 25 olup buradan |PQ'| = 5 birim bulunur.

Düzlemdeki iki nokta arasındaki mesafe, dik bileşenlerinin farkının kareleri toplamının kareköküyle bulunur.

P Q' Q dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayarak |PQ| değerini bulun.

|PQ|^2 = |PQ'|^2 + |QQ'|^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 olup, buradan |PQ| = 13 birim elde edilir.

QQ' doğrusu taban düzlemine dik olduğundan PQ' doğrusuna da diktir ve P Q' Q bir dik üçgendir.

Key Concept

Küp içinde noktalar arası uzaklık hesaplanırken dik izd��şüm yöntemi ve üç boyutlu Pisagor teoreminin uygulanması.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic