Examkin

Question

Difficulty: HardKüme Problemleri

Bir kütüphaneden kitap ödünç alan 7575 okuyucunun tarih ve bilim kurgu kitaplarını tercih etme durumlarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Yalnızca tarih kitabı ödünç alanların sayısı, her iki türden de kitap almayanların sayısının 44 katıdır.
* Bilim kurgu kitabı ödünç alanların sayısı, tarih kitabı ödünç almayanların sayısının 22 katıdır.
* Her iki türden de kitap alanların sayısı, yalnızca bilim kurgu kitabı alanların sayısından 1010 fazladır.

Buna göre, bu kütüphaneden tarih kitabı ödünç alan toplam okuyucu sayısı kaçtır?

  1. A
    35
  2. B
    40
  3. C
    45
  4. 50Answer
  5. E
    55

Answer

Tarih kitabı ödünç alan toplam okuyucu sayısı 50'dir.
Tarih kitabı alan okuyucu sayısı, yalnızca tarih kitabı alanlar (2020) ile her iki kitaptan da alanların (3030) toplamı olan 5050'dir.

Step-by-Step Solution

1
Küme bileşenlerini değişkenlerle ifade etme.
Tarih kitabı alanları TT, Bilim Kurgu alanları BB ile gösterelim. Dört ayrık bölge tanımlayalım:
* aa: Yalnızca Tarih alanlar (T∖BT \setminus B)
* bb: Yalnızca Bilim Kurgu alanlar (B∖TB \setminus T)
* cc: Her ikisini de alanlar (T∩BT \cap B)
* dd: Hiçbirini almayanlar (T′∩B′T' \cap B')
Toplam okuyucu sayısı: a+b+c+d=75a + b + c + d = 75 olur.
Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürebilmek için her bir küme bölgesini ayrı bir değişkenle temsil etmemiz gerekir.
2
Verilen bilgilere göre denklemleri kurma.
* Birinci bilgiye göre: a=4da = 4d
* İkinci bilgiye göre: Bilim kurgu alanlar (b+cb+c), tarih almayanların (b+db+d) 2 katıdır:
b+c=2(b+d)  ⟹  b+c=2b+2d  ⟹  c=b+2db + c = 2(b + d) \implies b + c = 2b + 2d \implies c = b + 2d
* Üçüncü bilgiye göre: c=b+10c = b + 10
Problemin çözümünü sağlayan bilinmeyenlerin değerlerini bulmak için denklem sistemini oluşturuyoruz.
3
Denklem sistemini çözerek bilinmeyenleri bulma.
c=b+2dc = b + 2d ve c=b+10c = b + 10 eşitliklerinden:
b+2d=b+10  ⟹  2d=10  ⟹  d=5b + 2d = b + 10 \implies 2d = 10 \implies d = 5 bulunur.
d=5d = 5 ise a=4d=4×5=20a = 4d = 4 \times 5 = 20 olur.
Toplam denkleminde yerine yazarsak:
a+b+c+d=75  ⟹  20+b+(b+10)+5=75  ⟹  2b+35=75  ⟹  2b=40  ⟹  b=20a + b + c + d = 75 \implies 20 + b + (b + 10) + 5 = 75 \implies 2b + 35 = 75 \implies 2b = 40 \implies b = 20 bulunur.
Buradan c=b+10=20+10=30c = b + 10 = 20 + 10 = 30 elde edilir.
Ende edilen eşitlikleri birbirinin yerine koyarak her bir bölgedeki okuyucu sayısını hesaplıyoruz.
4
Tarih kitabı alanların toplam sayısını hesaplama.
Tarih kitabı alan toplam okuyucu sayısı:
s(T)=a+c=20+30=50s(T) = a + c = 20 + 30 = 50 olarak bulunur.
Soruda bizden istenen tarih kitabı alanların toplam sayısı, yalnızca tarih alanlar ile her iki kitabı da alanların toplamına eşittir.

Key Concept

İki kümenin kesişimi, farkı ve tümleyeni kullanılarak kurulan sözel problemleri denklem sistemine dönüştürüp çözme.

Alternative Method

Venn şeması çizilerek bölgeler harflendirilir. Soruda verilen tüm oranlar şema üzerine yerleştirildikten sonra bilinmeyenler sırayla elenerek doğrudan tarih kümesinin sınırları içerisindeki toplam eleman sayısı bulunabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Küme Problemleri

More questions from this topic