Examkin

Kümeler, Fonksiyonlar ve İşlem

67 questions

Question 1Question →

Bir okulda basketbol oynayan öğrencilerin kümesi BB, voleybol oynayan öğrencilerin kümesi VV olarak tanımlanıyor. Basketbol veya voleybol oynayan öğrencilerden oluşan 40 kişilik bir grupta,

* s(B∖V)=2⋅s(B∩V)s(B \setminus V) = 2 \cdot s(B \cap V)
* s(V∖B)=s(B∩V)+4s(V \setminus B) = s(B \cap V) + 4

olduğuna göre, voleybol oynayan öğrencilerin sayısı (s(V)s(V)) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 22

Answer

Voleybol oynayan öğrencilerin sayısı 22'dir.
Voleybol oynayan öğrencilerin sayısı, yalnızca voleybol oynayanlar (s(V∖B)=13s(V \setminus B) = 13) ile her iki sporu da oynayanların (s(B∩V)=9s(B \cap V) = 9) toplamı olan 22'dir.

Step-by-Step Solution

1
Kesişim kümesinin eleman sayısını değişken olarak tanımlama.
s(B∩V)=xs(B \cap V) = x olsun. Bu durumda s(B∖V)=2xs(B \setminus V) = 2x ve s(V∖B)=x+4s(V \setminus B) = x + 4 olur.
Soruda verilen oranları ve ilişkileri tek bir de��işken cinsinden ifade ederek denklem kurmayı kolaylaştırmak.
2
Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü kullanarak denklem kurma.
s(B∪V)=s(B∖V)+s(B∩V)+s(V∖B)  ⟹  2x+x+(x+4)=40  ⟹  4x+4=40s(B \cup V) = s(B \setminus V) + s(B \cap V) + s(V \setminus B) \implies 2x + x + (x + 4) = 40 \implies 4x + 4 = 40
Gruptaki her öğrenci en az bir spor dalıyla ilgilendiği için tüm alt bölgelerin toplamı birleşim kümesinin eleman sayısına (40) eşit olmalıdır.
3
Denklemi çözerek bilinmeyen xx değerini bulma.
4x=36  ⟹  x=94x = 36 \implies x = 9 bulunur.
Kesişim kümesinin eleman sayısını belirlemek.
4
Voleybol oynayan toplam öğrenci sayısını (s(V)s(V)) hesaplama.
s(V)=s(V∖B)+s(B∩V)=(x+4)+x=13+9=22s(V) = s(V \setminus B) + s(B \cap V) = (x + 4) + x = 13 + 9 = 22 bulunur.
Voleybol oynayan öğrencilerin kümesi, sadece voleybol oynayanlar ile her iki sporu da oynayanların birleşiminden oluşur.

Key Concept

Kümelerde Birleşim, Kesişim ve Fark İşlemleri
Question 2Question →
AA ve BB kümeleri için,
s(A)=4s(A) = 4
s(A×B)=12s(A \times B) = 12
olduğuna göre, B×BB \times B kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

9
s(A×B)=s(A)×s(B)s(A \times B) = s(A) \times s(B) bağıntısına göre, 12=4×s(B)12 = 4 \times s(B) eşitliğinden s(B)=3s(B) = 3 elde edilir. İstenen B×BB \times B kartezyen çarpımının eleman sayısı ise s(B×B)=s(B)×s(B)=3×3=9s(B \times B) = s(B) \times s(B) = 3 \times 3 = 9 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
s(A×B)=s(A)×s(B)s(A \times B) = s(A) \times s(B) formülünü kullanarak BB kümesinin eleman sayısını (s(B)s(B)) bulunuz.
12=4×s(B)⇒s(B)=312 = 4 \times s(B) \Rightarrow s(B) = 3 olur.
Kartezyen çarpımın eleman sayısı, çarpılan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
2
B×BB \times B kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısını hesaplayınız.
s(B×B)=s(B)×s(B)=3×3=9s(B \times B) = s(B) \times s(B) = 3 \times 3 = 9 bulunur.
Aynı kümenin kendisiyle kartezyen çarpımının eleman sayısı, o kümenin eleman sayısının karesine eşittir.

Key Concept

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı formülü: s(A×B)=s(A)×s(B)s(A \times B) = s(A) \times s(B)
Estimated Time:45s
Question 3Question →

Her x≠1x \neq 1 gerçel sayısı için tanımlı bir ff fonksiyonu

f(x)+2f(11−x)=xf(x) + 2f\left(\frac{1}{1-x}\right) = x

eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 23\frac{2}{3}

Answer

İki bölü üç
Verilen fonksiyonel ilişkide girdilerin döngüsel bir yapıya (2→−1→12→22 \rightarrow -1 \rightarrow \frac{1}{2} \rightarrow 2) sahip olduğu belirlenir. Bu girdiler sırasıyla denklemde yerine yazılarak üç bilinmeyenli üç denklem elde edilir. Bu sistem rasyonel sayılarda dört işlem kurallarına dikkat edilerek çözüldüğünde aranılan değer iki bölü üç olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemde x=2x = 2 yazılır.
f(2)+2f(−1)=2f(2) + 2f(-1) = 2 elde edilir.
İlk olarak sorulan f(2)f(2) değerini içeren bir eşitlik oluşturmak hedeflenir.
2
Elde edilen yeni terim olan f(−1)f(-1) değerini bulmak için genel denklemde x=−1x = -1 yazılır.
f(−1)+2f(12)=−1f(-1) + 2f(\frac{1}{2}) = -1 elde edilir.
f(−1)f(-1) terimini içeren ve sistemi çözmemizi sağlayacak ikinci bir denklem kurmak gerekir.
3
Elde edilen yeni terim olan f(12)f(\frac{1}{2}) değerini bulmak için genel denklemde x=12x = \frac{1}{2} yazılır.
f(12)+2f(2)=12f(\frac{1}{2}) + 2f(2) = \frac{1}{2} elde edilir.
Girdilerin 2→−1→12→22 \rightarrow -1 \rightarrow \frac{1}{2} \rightarrow 2 şeklinde bir döngü oluşturduğunu görerek sistemi kapatmak amaçlanır.
4
Üçüncü denklemden f(12)=12−2f(2)f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2f(2) çekilerek ikinci denklemde yerine yazılır.
f(−1)+2(12−2f(2))=−1  ⟹  f(−1)=4f(2)−2f(-1) + 2(\frac{1}{2} - 2f(2)) = -1 \implies f(-1) = 4f(2) - 2 bulunur.
Denklem sistemindeki bilinmeyen sayısını azaltmak için yerine koyma yöntemi uygulanır.
5
Bulunan f(−1)f(-1) ifadesi ilk denklemde yerine yazılarak f(2)f(2) hesaplanır.
f(2)+2(4f(2)−2)=2  ⟹  9f(2)−4=2  ⟹  9f(2)=6  ⟹  f(2)=23f(2) + 2(4f(2) - 2) = 2 \implies 9f(2) - 4 = 2 \implies 9f(2) = 6 \implies f(2) = \frac{2}{3} bulunur.
Tek bilinmeyenli denklemi çözerek doğrudan hedeflenen f(2)f(2) değerine ulaşılır.

Key Concept

Fonksiyonel denklemlerde değişkenlerin yerine uygun değerler yazılarak lineer denklem sistemleri oluşturma ve çözme.

Hints

1
Soruda doğrudan f(2)f(2) değerini sorduğu için ilk olarak x=2x = 2 değerini denklemde yerine yazmayı deneyin.
2
x=2x = 2 yazdığınızda karşınıza çıkan f(−1)f(-1) değerini bulmak için bu sefer x=−1x = -1 yazarak yeni bir denklem oluşturun.
3
x=12x = \frac{1}{2} yazdığınızda tekrar f(2)f(2) terimine ulaştığınızı göreceksiniz. Elde ettiğiniz bu 3 denklemi taraf tarafa veya yerine koyma metoduyla çözün.

Practice More

Benzer döngüsel yapıya sahip f(x)+f(1−x)=x2f(x) + f(1-x) = x^2 veya f(x)+3f(−x)=x+1f(x) + 3f(-x) = x+1 gibi fonksiyonel denklemleri çözerek yöntemi pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Genel olarak g(x)=11−xg(x) = \frac{1}{1-x} dönüşümü yapıldığında g(g(x))=x−1xg(g(x)) = \frac{x-1}{x} ve g(g(g(x)))=xg(g(g(x))) = x olduğu görülür. Dolayısıyla f(x)+2f(g(x))=xf(x) + 2f(g(x)) = x genel denkleminde sırasıyla xx, g(x)g(x) ve g(g(x))g(g(x)) yazılarak f(x)f(x) fonksiyonunun genel kuralı f(x)=x−2g(x)+4g(g(x))9f(x) = \frac{x - 2g(x) + 4g(g(x))}{9} şeklinde bulunabilir. Burada x=2x=2 yazılarak doğrudan sonuca ulaşılabilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 4Question →

A={x∈Z:−3≤x<4}A = \{x \in \mathbb{Z} : -3 \leq x < 4\} kümesi veriliyor.

Buna göre, A×AA \times A kartezyen çarpım kümesinin elemanlarından kaç tanesi (a,b)(a, b) biçiminde olup a+ba + b toplamı sıfırdan büyüktür?

Show answer & explanation

Answer: 21

Answer

A kümesinin elemanları {−3,−2,−1,0,1,2,3}\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} olmak üzere, A×AA \times A kartezyen çarpım kümesindeki elemanlardan a+b>0a + b > 0 koşulunu sağlayan sıralı ikililerin sayısı 21'dir.
A kümesinin elemanları {−3,−2,−1,0,1,2,3}\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} olmak üzere toplam 7 elemandır. A×AA \times A kartezyen çarpım kümesindeki 49 elemanın 7 tanesinde toplam sıfıra eşittir (a+b=0a + b = 0). Kalan 42 elemanın yarısı simetriden dolayı sıfırdan büyük, diğer yarısı ise sıfırdan küçüktür. Bu durumda toplamı sıfırdan büyük olan sıralı ikili sayısı 21 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
A kümesinin elemanlarını listeleyerek eleman sayısını bulalım.
A={−3,−2,−1,0,1,2,3}A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} olup s(A)=7s(A) = 7 elemanlıdır.
Kartezyen çarpımın elemanlarını ve ko��ulu sağlayan ikilileri belirlemek için önce A kümesinin elemanlarını bilmemiz gerekir.
2
A×AA \times A kartezyen çarpımının toplam eleman sayısını hesaplayalım.
s(A×A)=s(A)×s(A)=7×7=49s(A \times A) = s(A) \times s(A) = 7 \times 7 = 49 elemandır.
İstenen koşulu sağlayan elemanları tüm elemanlar içinden seçmek veya tüm elemanlar üzerinden simetri kuralını uygulamak için toplam eleman sayısı gereklidir.
3
a+b=0a + b = 0 koşulunu sağlayan (a,b)(a, b) ikililerinin sayısını bulalım.
a+b=0  ⟹  a=−ba + b = 0 \implies a = -b olmalıdır. Bu ikililer: (−3,3)(-3, 3), (−2,2)(-2, 2), (−1,1)(-1, 1), (0,0)(0, 0), (1,−1)(1, -1), (2,−2)(2, -2) ve (3,−3)(3, -3) olmak üzere 7 tanedir.
Toplamın sonucuna göre durumlar pozitif, negatif veya sıfır olabilir. Sıfır olan durumları tüm elemanlardan çıkararak simetrik durumları (pozitif ve negatif toplamları) yalnız bırakmak için bu adımı yapıyoruz.
4
Simetri özelliğini kullanarak a+b>0a + b > 0 olan ikililerin sayısını hesaplayalım.
49−7=4249 - 7 = 42 ikili için toplam sıfırdan farklıdır. A kümesi sıfıra göre simetrik olduğundan, bu 42 ikilinin yarısında toplam pozitif, diğer yarısında ise negatiftir. Dolayısıyla, 42/2=2142 / 2 = 21 ikili için a+b>0a + b > 0 olur.
Tüm ikilileri tek tek yazıp saymak yerine, kümenin simetrik yapısını kullanarak daha hızlı ve hatasız bir şekilde sonuca ulaşabiliriz.

Key Concept

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı ve sıralı ikililerin belirli koşullar altında sayılması.

Hints

1
İlk olarak A kümesinin tam sayı elemanlarını listeleyin ve toplam eleman sayısını belirleyin.
2
A×AA \times A kümesinin elemanları sıralı ikililerden oluşur. Toplamın sonucunun pozitif, negatif ya da sıfır olduğu durumları ayrı ayrı düşünün.
3
A kümesinin sıfıra göre simetrik yapısından faydalanın. Toplamı sıfır olan ikilileri tüm elemanlardan çıkardıktan sonra kalan ikililerin yarısının toplamı pozitif, diğer yarısının toplamı ise negatiftir.

Practice More

Benzer şekilde a⋅b>0a \cdot b > 0 (çarpımları sıfırdan büyük) ya da a−b<0a - b < 0 (farkları sıfırdan küçük) koşullarını sağlayan kartezyen çarpım eleman sayısını bulmaya yönelik sorular çözebilirsiniz.

Alternative Method

Sıralı ikilileri tek tek listeleyerek de sayabiliriz. aa değerine göre uygun bb değerlerini yazalım: a=−2a = -2 için b=3b = 3 (1 durum), a=−1a = -1 için b∈{2,3}b \in \{2, 3\} (2 durum), a=0a = 0 için b∈{1,2,3}b \in \{1, 2, 3\} (3 durum), a=1a = 1 için b∈{0,1,2,3}b \in \{0, 1, 2, 3\} (4 durum), a=2a = 2 için b∈{−1,0,1,2,3}b \in \{-1, 0, 1, 2, 3\} (5 durum) ve a=3a = 3 için b∈{−2,−1,0,1,2,3}b \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\} (6 durum) bulunur. Toplamda 1+2+3+4+5+6=211 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 farklı sıralı ikili elde edilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 5Question →
A={1,2,3,4,5,6,7}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} kümesi veriliyor.

Buna göre, AA kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinin elemanları toplamı bir çift sayıdır ve bu alt kümeler en az bir tek sayı eleman içerir?

Show answer & explanation

Answer: 56

Answer

Elemanları toplamı çift olan ve en az bir tek sayı içeren alt küme sayısı 56 tanedir.
Doğru seçenekte belirtilen değer, elemanları toplamı çift olan tüm 64 alt kümeden, hiç tek sayı içermeyen 8 alt kümenin çıkarılmasıyla (64−8=5664 - 8 = 56) elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Kümedeki tek ve çift sayı elemanlarını belirleyelim.
AA kümesinde 4 adet tek sayı ({1,3,5,7}\{1, 3, 5, 7\}) ve 3 adet çift sayı ({2,4,6}\{2, 4, 6\}) bulunmaktadır.
Soruda istenen tek sayı içerme ve toplamın çift olması koşullarını uygulayabilmek için tek ve çift elemanları ayrı ayrı sınıflandırmamız gerekir.
2
Bir alt kümenin elemanları toplamının çift sayı olma şartını belirleyelim.
Bir kümedeki sayıların toplamının çift olması için, o kümenin içerdiği tek sayıların adedi çift olmalıdır. Çift sayıların adedi toplamın çift veya tek olmasını etkilemez.
Tek sayıların çift adet toplamı her zaman çift sayı verir, çift sayıların toplamı ise adedine bakılmaksızın daima çifttir.
3
Elemanları toplamı çift olan tüm alt kümelerin sayısını hesaplayalım.
Çift sayıların kümesi {2,4,6}\{2, 4, 6\} olup bu sayılardan 23=82^3 = 8 farklı seçim yapılabilir. Tek say��lardan ise çift sayıda (0, 2 veya 4 tane) seçmeliyiz:
- 0 tek sayı seçimi için: (40)=1\binom{4}{0} = 1 durum
- 2 tek sayı seçimi için: (42)=6\binom{4}{2} = 6 durum
- 4 tek sayı seçimi için: (44)=1\binom{4}{4} = 1 durum

Tek sayıların seçim durumlarının toplamı: 1+6+1=81 + 6 + 1 = 8 olur. ��arpım kuralı gereği, elemanları toplamı çift olan tüm alt kümelerin sayısı: 8×23=8×8=648 \times 2^3 = 8 \times 8 = 64 olarak bulunur.
Koşulsuz olarak toplamı çift olan tüm alt kümeleri bulmak için tek ve çift eleman seçimlerinin kombinasyon sayılarını çarparız.
4
Hesaplanan kümelerden 'en az bir tek sayı eleman içerme' koşuluna uymayanları çıkaralım.
Hiç tek sayı içermeyen ve elemanları toplamı çift olan alt kümeler, yalnızca çift sayılardan ({2,4,6}\{2, 4, 6\}) oluşturulan alt kümelerdir. Bu alt kümelerin sayısı 23=82^3 = 8'dir. İstenen koşullara uygun alt küme sayısı: 64−8=5664 - 8 = 56 bulunur.
Bulduğumuz tüm çift toplama sahip alt kümelerden, en az bir tek sayı içermeyen (yani sadece çift sayılardan oluşan) alt kümeleri çıkararak istenen koşulu sağlayanları belirleriz.

Key Concept

Kümelerde eleman özelliklerine göre alt küme oluşturma ve kombinasyon ile sayma kuralları.
Estimated Time:2m 30s
Question 6Question →
Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her n≥1n \geq 1 için
f(n+1)=f(n)−1f(n)+1f(n+1) = \frac{f(n) - 1}{f(n) + 1}
eşitliğini sağlamaktadır.

f(1)=3f(1) = 3 olduğuna göre, f(2026)f(2026) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 12\frac{1}{2}

Answer

Yarım (bir bölü iki)
Fonksiyonun ilk terimlerinden başlanarak yapılan hesaplamada f(1)=3f(1)=3, f(2)=1/2f(2)=1/2, f(3)=−1/3f(3)=-1/3, f(4)=−2f(4)=-2 ve f(5)=3f(5)=3 değerleri bulunur. Beşinci adımda ilk değere geri dönüldüğü için fonksiyon değerlerinin her 4 adımda bir kendini tekrarladığı (periyodun 4 olduğu) görülür. İstenen f(2026)f(2026) değerini bulmak amacıyla 20262026 indisi 44 periyoduna bölünür ve kalan 22 olarak elde edilir. Dolayısıyla aranan değer, ikinci terim olan yarım değerine eşittir.

Step-by-Step Solution

1
İlk terimden başlayarak sonraki terimleri hesaplamak.
f(1)=3f(1) = 3 verilmiştir. Buradan f(2)=3−13+1=24=12f(2) = \frac{3-1}{3+1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} bulunur.
Yinelemeli fonksiyon kuralını kullanarak ardışık değerleri elde etmek gerekir.
2
Daha sonraki terimleri hesaplayarak bir örüntü aramak.
f(3)=12−112+1=−1232=−13f(3) = \frac{\frac{1}{2}-1}{\frac{1}{2}+1} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = -\frac{1}{3} ve f(4)=−13−1−13+1=−4323=−2f(4) = \frac{-\frac{1}{3}-1}{-\frac{1}{3}+1} = \frac{-\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}} = -2 bulunur.
Fonksiyonun periyodik davranışını ortaya çıkarmak için yeterli sayıda adım hesaplanmalıdır.
3
Periyodun başlangıcını tespit etmek.
f(5)=−2−1−2+1=−3−1=3f(5) = \frac{-2-1}{-2+1} = \frac{-3}{-1} = 3 elde edilir. Görüldüğü gibi f(5)=f(1)=3f(5) = f(1) = 3 olmuştur.
İlk terime geri dönüldüğü an örüntünün periyodunun 4 olduğu anlaşılır.
4
İndisi periyoda bölerek kalana göre değeri bulmak.
20262026 sayısı 44'e bölündüğünde kalan 22 olur (2026=4×506+22026 = 4 \times 506 + 2). Bu durumda f(2026)=f(2)=12f(2026) = f(2) = \frac{1}{2} olarak elde edilir.
Periyodik dizilerde herhangi bir terimin değeri, indisin periyoda bölümünden kalan ile eşleşen temel terimin değerine eşittir.

Key Concept

Yinelemeli (periyodik) fonksiyonlarda değer bulma

Hints

1
Fonksiyonun ardışık değerlerini (f(1)f(1), f(2)f(2), f(3)f(3)...) sırayla hesaplayarak değerlerin nasıl değiştiğini inceleyin.
2
Değerlerin belirli bir adımdan sonra kendini tekrar edip etmediğini (periyodik olup olmadığını) kontrol edin.
3
f(5)f(5) değerini hesapladığınızda elde ettiğiniz sonuç ile f(1)f(1) arasındaki ilişkiye dikkat ederek periyodu belirleyin ve 2026 indisini bu periyoda bölün.

Practice More

Benzer bir mantıkla f(1)=2f(1) = 2 ve f(n+1)=11−f(n)f(n+1) = \frac{1}{1-f(n)} olarak tanımlanan bir fonksiyonun f(100)f(100) değerini bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Alternatif olarak, fonksiyon f(n)=cot⁡(θ)f(n) = \cot(\theta) dönüşümü ile trigonometrik olarak da incelenebilir. cot⁡(2θ)\cot(2\theta) veya benzeri formüllerle ardışık açısal değişimler gözlemlenebilir, ancak temel aritmetik adımları izlemek çok daha pratik ve hızlı bir yoldur.
Estimated Time:2m 0s
Question 7Question →
Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu
f(x)={x+3,x tek isex2,x c¸ift isef(x) = \begin{cases} x + 3, & x \text{ tek ise} \\ \frac{x}{2}, & x \text{ çift ise} \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
(f∘f∘f∘f)(a)=5(f \circ f \circ f \circ f)(a) = 5
eşitliğini sağlayan aa tam sayılarının toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 190

Answer

Bileşke fonksiyonun 4 adımı tersten takip edilip teklik-çiftlik kuralları doğru uygulandığında elde edilen değerlerin toplamı 190'dır.
Dört adımlı bileşke fonksiyonu tersten incelediğimizde, her adımda elde edilen değerlerin teklik-çiftlik kurallarına uygunluğunu kontrol ederek doğru aa değerlerini buluruz. Bu değerler 11,28,34,3711, 28, 34, 37 ve 8080 olup toplamları 190190 yapmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
f(x1)=5f(x_1) = 5 eşitliğini sağlayan x1x_1 değerini bulmak için fonksiyonun dalları incelenir.
x1=10x_1 = 10
Eğer x1x_1 tek ise x1+3=5  ⟹  x1=2x_1 + 3 = 5 \implies x_1 = 2 olur fakat 2 çift sayı olduğu için bu koldan çözüm gelmez. Eğer x1x_1 çift ise x1/2=5  ⟹  x1=10x_1 / 2 = 5 \implies x_1 = 10 olur ve 10 çift sayı olduğu için bu koldan x1=10x_1 = 10 çözümü elde edilir.
2
f(x2)=10f(x_2) = 10 eşitliğini sağlayan x2x_2 değerleri bulunur.
x2∈{7,20}x_2 \in \{7, 20\}
Eğer x2x_2 tek ise x2+3=10  ⟹  x2=7x_2 + 3 = 10 \implies x_2 = 7 (7 tek sayıdır, geçerli). Eğer x2x_2 çift ise x2/2=10  ⟹  x2=20x_2 / 2 = 10 \implies x_2 = 20 (20 çift sayıdır, geçerli).
3
f(x3)=7f(x_3) = 7 ve f(x3)=20f(x_3) = 20 eşitliklerini sağlayan x3x_3 değerleri bulunur.
x3∈{14,17,40}x_3 \in \{14, 17, 40\}
f(x3)=7f(x_3) = 7 için: tek ise x3+3=7  ⟹  x3=4x_3 + 3 = 7 \implies x_3 = 4 (4 çift sayı, elenir); çift ise x3/2=7  ⟹  x3=14x_3 / 2 = 7 \implies x_3 = 14 (14 çift sayı, geçerli). f(x3)=20f(x_3) = 20 için: tek ise x3+3=20  ⟹  x3=17x_3 + 3 = 20 \implies x_3 = 17 (17 tek sayı, geçerli); çift ise x3/2=20  ⟹  x3=40x_3 / 2 = 20 \implies x_3 = 40 (40 çift sayı, geçerli).
4
f(a)=14f(a) = 14, f(a)=17f(a) = 17 ve f(a)=40f(a) = 40 eşitliklerini sağlayan aa değerleri bulunur.
a∈{11,28,34,37,80}a \in \{11, 28, 34, 37, 80\}
f(a)=14f(a) = 14 için a=11a = 11 (tek, geçerli) veya a=28a = 28 (çift, geçerli). f(a)=17f(a) = 17 için a=14a = 14 (çift sayı olduğundan teklik kolu şartını sağlamaz, elenir) veya a=34a = 34 (çift, geçerli). f(a)=40f(a) = 40 için a=37a = 37 (tek, geçerli) veya a=80a = 80 (çift, geçerli).
5
Elde edilen geçerli aa değerleri toplanır.
11+28+34+37+80=19011 + 28 + 34 + 37 + 80 = 190
Bileşke eşitliğini sağlayan tüm geçerli aa tam sayılarının toplamıdır.

Key Concept

Bileşke fonksiyonlarda tersten işlem yaparken parçalı fonksiyon kollarının tanım kümesi ve teklik-çiftlik koşullarının her adımda titizlikle sorgulanması.
Question 8Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(2x−3)=2x2+5x−1f(2x - 3) = 2x^2 + 5x - 1
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 32

Answer

İstenen f(3) değerini bulmak için fonksiyonun içindeki ifade 3'e eşitlenir. Buradan x = 3 elde edilir. x = 3 değeri fonksiyonun sağ tarafındaki kuralda yerine yazıldığında sonuç 32 olarak bulunur.
Soruda f(3) değeri istendiği için fonksiyonun içerisindeki 2x - 3 ifadesi 3'e eşitlenir. Buradan 2x = 6 ve x = 3 elde edilir. Fonksiyon kuralında x yerine 3 yazıldığında 2(3)2+5(3)−12(3)^2 + 5(3) - 1 ifadesi 18+15−1=3218 + 15 - 1 = 32 sonucunu verir. Bu nedenle doğru cevap 32'dir.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun içerisindeki ifadeyi 3'e eşitleyen x değerini bulmak için denklem kurulur.
2x−3=3  ⟹  2x=6  ⟹  x=32x - 3 = 3 \implies 2x = 6 \implies x = 3
f(3) değerini elde etmek için fonksiyondaki değişken yerine hangi sayının yazılması gerektiğini belirlemek amacıyla.
2
Bulunan x = 3 değeri fonksiyondaki kuralda yerine yazılır.
f(3)=2(3)2+5(3)−1f(3) = 2(3)^2 + 5(3) - 1
Fonksiyonun kuralını uygulayarak f(3) değerini hesaplamak amacıyla.
3
İfade işlem önceliğine dikkat edilerek çözülür.
f(3)=2(9)+15−1=18+15−1=32f(3) = 2(9) + 15 - 1 = 18 + 15 - 1 = 32
Matematiksel işlemleri tamamlayıp nihai sonuca ulaşmak amacıyla.

Key Concept

Fonksiyonda belirli bir değer için değişkenin alması gereken değeri bulup yerine yazma.

Hints

1
İstenen f(3) değerini bulmak için öncelikle fonksiyonun parantez içindeki ifadesini 3 yapan x değerini bulmalısınız.
2
2x−3=32x - 3 = 3 eşitliğini sağlayan x değerini bulup, bu değeri fonksiyonun sağ tarafında yerine yazın.
3
x = 3 değerini 2x2+5x−12x^2 + 5x - 1 ifadesinde yerine yazarken işlem önceliğine (önce üs alma, sonra çarpma) dikkat edin.

Practice More

Benzer mantıkla f(3x+2)=x2−4xf(3x + 2) = x^2 - 4x fonksiyonu için f(8) değerini bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Alternatif olarak, fonksiyonda değişken dönüşümü yapabilirsiniz. 2x−3=u  ⟹  x=u+322x - 3 = u \implies x = \frac{u+3}{2} yazarak genel fonksiyon kuralını f(u)=2(u+32)2+5(u+32)−1f(u) = 2\left(\frac{u+3}{2}\right)^2 + 5\left(\frac{u+3}{2}\right) - 1 olarak bulabilir ve ardından u=3u = 3 yazarak sonuca gidebilirsiniz.
Estimated Time:1m 0s
Question 9Question →
ff ve gg fonksiyonları
f(x)=3x−4f(x) = 3x - 4
g(x−1)=2x+1g(x - 1) = 2x + 1
biçiminde tanımlanmaktadır.
Buna göre, (f∘g)(2)(f \circ g)(2) bileşke işleminin sonucu kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 17

Answer

Bileşke işleminin sonucu 17'dir.
Bileşke fonksiyon tanımı gereğince (f∘g)(2)(f \circ g)(2) ifadesi f(g(2))f(g(2)) şeklinde yazılır. g(2)g(2) değerini bulmak için g(x−1)=2x+1g(x - 1) = 2x + 1 eşitliğinde parantez içi 2'ye eşitlenir: x−1=2  ⟹  x=3x - 1 = 2 \implies x = 3 bulunur. Eşitliğin sağ tarafında xx yerine 3 yazıldığında g(2)=2(3)+1=7g(2) = 2(3) + 1 = 7 elde edilir. Bu değer f(x)=3x−4f(x) = 3x - 4 fonksiyonunda girdi olarak kullanılır: f(7)=3(7)−4=17f(7) = 3(7) - 4 = 17 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Bileşke fonksiyon tanımını uygulayarak istenen ifadeyi açın.
(f∘g)(2)=f(g(2))(f \circ g)(2) = f(g(2))
Bileşke fonksiyon kuralı gereği, (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) eşitliği geçerlidir.
2
g(2)g(2) değerini hesaplamak için verilen g(x−1)=2x+1g(x-1) = 2x+1 eşitliğinde uygun xx değerini bulun.
x−1=2  ⟹  x=3x - 1 = 2 \implies x = 3 olur. Bu durumda g(2)=2(3)+1=7g(2) = 2(3) + 1 = 7 bulunur.
Fonksiyonun içindeki ifadenin 2 olması için xx yerine yazılması gereken değer belirlenmelidir.
3
Bulunan g(2)=7g(2) = 7 değerini f(x)=3x−4f(x) = 3x - 4 fonksiyonunda yerine yazarak sonucu elde edin.
f(7)=3(7)−4=21−4=17f(7) = 3(7) - 4 = 21 - 4 = 17 olur.
Bileşke fonksiyonun son aşaması olarak dıştaki fonksiyonun içine içteki fonksiyonun sonucu yazılır.

Key Concept

Bileşke fonksiyonlarda değer bulma işlemi, sağdaki fonksiyonun görüntüsünün soldaki fonksiyona girdi olarak yazılmasıyla gerçekleştirilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 10Question →
A={x∈Z∣−1≤x≤6 ve (x bir c¸ift sayı veya x bir asal sayıdır)}∪{∅,{2}}A = \{x \in \mathbb{Z} \mid -1 \le x \le 6 \text{ ve } (x \text{ bir çift sayı veya } x \text{ bir asal sayıdır})\} \cup \{\emptyset, \{2\}\}

kümesi tanımlanıyor.

Buna göre, AA kümesiyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

Show answer & explanation

Answer: {{2}}∈A\{\{\text{2}\}\} \in A

Answer

Küme parantezi içinde iki elemanını barındıran kümenin A kümesinin elemanı olduğunu belirten ifade yanlıştır.
Yanlış olan ifade, küme parantezi içinde iki elemanını barındıran kümenin AA kümesinin elemanı olduğunu belirten ifadedir. Çünkü {2}\{2\} ifadesi AA kümesinin bir elemanıdır ({2}∈A\{2\} \in A). Bir elemanın küme parantezine alınmasıyla elde edilen yeni küme, AA kümesinin elemanı değil, alt kümesi olur ({{2}}⊆A\{\{2\}\} \subseteq A). Dolayısıyla bu ifade matematiksel olarak yanlıştır.

Step-by-Step Solution

1
Kümenin birinci kısmını oluşturan elemanları belirlemek için koşulu sağlayan tam sayıları listeleyelim.
−1≤x≤6-1 \le x \le 6 aralığındaki çift sayılar ve asal sayılar kümesi: {0,2,3,4,5,6}\{0, 2, 3, 4, 5, 6\} elemanlarından oluşur.
Tanımda verilen aralıkta 0,2,4,60, 2, 4, 6 çift sayılar; 2,3,52, 3, 5 ise asal sayılardır. Bu iki grubun birleşimi alınır.
2
AA kümesinin tamamını bulmak için bu sayı kümesini {∅,{2}}\{\emptyset, \{2\}\} kümesi ile birleştirelim.
A={0,2,3,4,5,6,∅,{2}}A = \{0, 2, 3, 4, 5, 6, \emptyset, \{2\}\} kümesi elde edilir. Bu kümenin eleman sayısı s(A)=8s(A) = 8 olur.
∅\emptyset ve {2}\{2\} ifadeleri birer küme olup, tamsayı olan elemanlardan farklı yeni birer eleman olarak AA kümesine eklenir.
3
Seçeneklerde verilen ifadelerin doğruluğunu tek tek kontrol edelim.
İfadelerin incelenmesi sonucu:
- Eleman sayısı 88 ifadesi doğrudur.
- Alt küme ve özalt küme sayısı toplamı 256+255=511256 + 255 = 511 ifadesi doğrudur.
- {0,4,6}⊆A\{0, 4, 6\} \subseteq A ifadesi doğrudur.
- Asal sayı olan elemanlar sadece 2,3,52, 3, 5 olmak üzere 3 tanedir, bu ifade doğrudur.
- {{2}}∈A\{\{\text{2}\}\} \in A ifadesi ise yanlıştır, çünkü {{2}}⊆A\{\{\text{2}\}\} \subseteq A olmalıdır.
Kümelerde eleman (∈\in) ve alt küme (⊆\subseteq) sembollerinin kurallarına göre bir elemanın süslü parantez içine alınmasıyla oluşan yeni küme, orijinal kümenin bir alt kümesi olur, elemanı olamaz.

Key Concept

Kümelerde Eleman, Alt Küme ve Özalt Küme Kavramları

Alternative Method

Kümenin elemanlarını belirledikten sonra, eleman sayısı bilinen bir kümenin alt küme ve özalt küme sayılarının toplamının genel formülünün 2n+1−12^{n+1} - 1 olduğu kullanılarak işlem daha hızlı yapılabilir. s(A)=8s(A) = 8 için 28+1−1=512−1=5112^{8+1} - 1 = 512 - 1 = 511 doğrudan bulunabilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 11Question →

Bir şirketteki çalışanların yabancı dil bilgileriyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Çalışanların %60\%60'ı İngilizce, %50\%50'si Almanca bilmektedir.
* Bu dillerin en az birini bilenlerin sayısı, hiçbirini bilmeyenlerin sayısının 44 katıdır.
* Her iki dili de bilenlerin sayısı, sadece Almanca bilenlerin sayısından 88 fazladır.

Buna göre, bu şirkette sadece İngilizce bilen çalışan sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Sadece İngilizce bilen çalışan sayısı 24'tür.
Toplam çalışan sayısı 100x100x kabul edildiğinde, hiçbir dil bilmeyenler 20x20x, en az bir dil bilenler 80x80x olur. İngilizce ve Almanca kümelerinin birleşimi üzerinden kesişim kümesi (her iki dili bilenler) 30x30x, sadece Almanca bilenler 20x20x ve sadece İngilizce bilenler 30x30x olarak hesaplanır. 30x=20x+830x = 20x + 8 denklemi çözüldüğünde 10x=810x = 8 ve sadece İngilizce bilenlerin sayısı olan 30x=2430x = 24 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Toplam çalışan sayısını 100x100x olarak belirleyip, verilen oranları kullanarak hiçbir yabancı dil bilmeyenler ile en az bir yabancı dil bilenlerin oranını denklem haline getirmek.
Hiçbir dil bilmeyenler 20x20x ve en az bir dil bilenler (birleşim kümesi) 80x80x olarak bulunur.
Soruda verilen 'en az birini bilenlerin sayısı, hiçbirini bilmeyenlerin sayısının 4 katıdır' ifadesini matematiksel olarak modellemek için.
2
İngilizce (II) ve Almanca (AA) kümelerinin birleşim formülünü (s(I∪A)=s(I)+s(A)−s(I∩A)s(I \cup A) = s(I) + s(A) - s(I \cap A)) kullanarak her iki dili de bilenlerin oranını bulmak.
80x=60x+50x−s(I∩A)  ⟹  s(I∩A)=30x80x = 60x + 50x - s(I \cap A) \implies s(I \cap A) = 30x (her iki dili de bilenler) bulunur. Buradan sadece İngilizce bilenler 30x30x, sadece Almanca bilenler ise 20x20x olur.
Kesişim ve yalnız bir dili bilenlerin oranlarını belirleyerek verilen kişi sayısı ilişkisini kurmak için.
3
Her iki dili de bilenlerin sayısı ile sadece Almanca bilenlerin sayısı arasındaki ilişkiyi kullanarak xx değerini bulmak ve sadece İngilizce bilen çalışan sayısını hesaplamak.
30x=20x+8  ⟹  10x=8  ⟹  x=0,830x = 20x + 8 \implies 10x = 8 \implies x = 0,8 bulunur. Buradan sadece İngilizce bilen çalışan sayısı 30x=30×0,8=2430x = 30 \times 0,8 = 24 olarak hesaplanır.
Sorudaki kişi sayısı bilgisini oranlarla eşleştirip kesin sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Küme Problemleri ve Evrensel Küme İlişkisi
Estimated Time:2m 30s
Question 12Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x2−x+1f(x) = x^2 - x + 1
g(x)=2x+mg(x) = 2x + m
fonksiyonları veriliyor.
(f∘g)(x)=(g∘f)(x)(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)
eşitliğini sağlayan yalnızca bir tane xx gerçel sayısı olduğuna göre, mm kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: -1

Answer

m değeri -1 olmalıdır.
Verilen f ve g fonksiyonları bileşke işlemine tabi tutulup birbirine eşitlendiğinde elde edilen 2x^2 + 4mx + (m^2 - 2m - 1) = 0 denkleminin yalnızca bir kökünün olması için diskriminantı sıfır olmalıdır. Bu şartı sağlayan tek gerçel sayı m = -1 değeridir.

Step-by-Step Solution

1
(f o g)(x) fonksiyonunu bulmak için f(x) ifadesinde x yerine g(x) yazılır.
(f o g)(x) = (2x + m)^2 - (2x + m) + 1 = 4x^2 + (4m - 2)x + m^2 - m + 1
Bileşke fonksiyon tanımını uygulamak.
2
(g o f)(x) fonksiyonunu bulmak için g(x) ifadesinde x yerine f(x) yazılır.
(g o f)(x) = 2(x^2 - x + 1) + m = 2x^2 - 2x + 2 + m
İkinci bileşke fonksiyonu elde etmek.
3
Eşitliği kullanarak ikinci dereceden tek değişkenli bir denklem oluşturulur.
4x^2 + (4m - 2)x + m^2 - m + 1 = 2x^2 - 2x + 2 + m => 2x^2 + 4mx + (m^2 - 2m - 1) = 0
x değerlerini bulabilmek için denklemi standart forma getirmek.
4
Denklemin yalnızca bir tane gerçel kökü olması için diskriminantı (Delta) sıfıra eşitlenir.
Delta = (4m)^2 - 4 * 2 * (m^2 - 2m - 1) = 0 => 16m^2 - 8(m^2 - 2m - 1) = 0 => 8m^2 + 16m + 8 = 0 => m^2 + 2m + 1 = 0 => (m + 1)^2 = 0 => m = -1
İkinci dereceden denklemlerde tek kök bulunması (çakışık kök) şartını uygulamak.

Key Concept

Bileşke fonksiyonların hesabı ve ikinci dereceden denklemlerde tek kök olma (diskriminantın sıfır olması) şartının bir arada kullanılması.

Alternative Method

Eşitlik düzenlendikten sonra elde edilen 2x^2 + 4mx + (m^2 - 2m - 1) = 0 denklemi tam kareye tamamlama yöntemiyle de çözülebilir. İfade 2(x + m)^2 - m^2 - 2m - 1 = 0 haline getirilir. Buradan (x + m)^2 = (m^2 + 2m + 1)/2 elde edilir. Tek bir x çözümünün olması için sağ taraf sıfır olmalıdır. Buradan m^2 + 2m + 1 = 0 ve m = -1 bulunur.
Estimated Time:2m 30s
Question 13Question →

Bir gruptaki kişilerden 1818'i futbol, 1414'ü basketbol oynamaktadır. Bu grupta her iki sporu da oynayan 55 kişi olduğuna göre, futbol veya basketbol sporlarından en az birini oynayan toplam kaç kişi vardır?

Show answer & explanation

Answer: 2727

Answer

Futbol veya basketbol oynayanların toplam sayısı 2727'dir.
Futbol veya basketbol oynayanların toplam sayısı, bu iki kümenin birleşim kümesinin eleman sayısına eşittir. Birleşim kümesinin eleman sayısı formülü s(F∪B)=s(F)+s(B)−s(F∩B)s(F \cup B) = s(F) + s(B) - s(F \cap B) şeklindedir. Verilen değerler formülde yerine yazıldığında 18+14−5=2718 + 14 - 5 = 27 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Futbol oynayanların kümesini FF, basketbol oynayanların kümesini BB olarak belirleyip eleman sayılarını yazalım.
s(F)=18s(F) = 18, s(B)=14s(B) = 14 ve her iki sporu oynayanlar s(F∩B)=5s(F \cap B) = 5 olur.
Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel küme sembolleriyle ifade etmek amacıyla bu adım gerçekleştirilir.
2
En az bir sporu oynayanların sayısını bulmak için birleşim kümesi formülünü uygulayalım: s(F∪B)=s(F)+s(B)−s(F∩B)s(F \cup B) = s(F) + s(B) - s(F \cap B)
s(F∪B)=18+14−5=27s(F \cup B) = 18 + 14 - 5 = 27 olarak bulunur.
Her iki sporu da oynayan kişilerin toplam hesaplamada iki kez sayılmasını önlemek için kesişim kümesinin eleman sayısını bir kez çıkarmamız gerekir.

Key Concept

İki kümenin birleşiminin eleman sayısının hesaplanması
Question 14Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x+2)=x⋅f(x)+3f(x + 2) = x \cdot f(x) + 3
eşitliğini sağlamaktadır.

f(2)=5f(2) = 5 olduğuna göre, f(6)f(6) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 55

Answer

Fonksiyonun verilen kuralları adım adım uygulandığında f(6)f(6) değeri 55 olarak bulunur.
Verilen fonksiyon tanımında adım adım değerler yerine koyularak f(4)=13f(4) = 13 ve buradan da f(6)=55f(6) = 55 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
İlk adımda, verilen f(2)f(2) değerini kullanarak f(4)f(4) değerine ulaşmak amacıyla f(x+2)=x⋅f(x)+3f(x+2) = x \cdot f(x) + 3 denkleminde xx yerine 22 yazılır.
f(4)=2⋅f(2)+3f(4) = 2 \cdot f(2) + 3 denklemi elde edilir.
f(2)f(2) değeri bilindiği için fonksiyonda bir sonraki adım olan f(4)f(4) değerini bulmak gerekir.
2
Elde edilen denklemde f(2)=5f(2) = 5 değeri yerine yazılarak hesaplama yapılır.
f(4)=2⋅5+3=13f(4) = 2 \cdot 5 + 3 = 13 bulunur.
f(4)f(4) değerini sayısal olarak elde etmek.
3
Bulunan f(4)f(4) değerini kullanarak hedeflenen f(6)f(6) değerine ulaşmak amacıyla ana denklemde xx yerine 44 yazılır.
f(6)=4⋅f(4)+3f(6) = 4 \cdot f(4) + 3 denklemi elde edilir.
Fonksiyonun kuralına göre f(6)f(6) değerini f(4)f(4) cinsinden ifade etmek.
4
Elde edilen denklemde f(4)=13f(4) = 13 değeri yerine yazılarak hesaplama tamamlanır.
f(6)=4⋅13+3=52+3=55f(6) = 4 \cdot 13 + 3 = 52 + 3 = 55 bulunur.
f(6)f(6) değerini nihai olarak hesaplamak.

Key Concept

Bir fonksiyonun kuralı verildiğinde, girdi değerlerinin uygun şekilde seçilerek adım adım istenen çıktı değerlerinin elde edilmesi.
Question 15Question →

A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\}
B={2,3,4,5,6,7}B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}
C={4,5,6,7,8,9}C = \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}

kümeleri veriliyor.

Buna göre, (A×B)∩(A×C)(A \times B) \cap (A \times C) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Sorulan kümenin eleman sayısı 20'dir.
Dağılma özelliği kullanılarak (A×B)∩(A×C)=A×(B∩C)(A \times B) \cap (A \times C) = A \times (B \cap C) sadeleştirmesi yapılır. A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\} kümesinin eleman sayısı s(A)=5s(A) = 5 ve BB ile CC kümelerinin kesişimi olan B∩C={4,5,6,7}B \cap C = \{4, 5, 6, 7\} kümesinin eleman sayısı s(B∩C)=4s(B \cap C) = 4 olarak bulunur. Kartezyen çarpım eleman sayısı formülüne göre s(A×(B∩C))=s(A)⋅s(B∩C)=5⋅4=20s(A \times (B \cap C)) = s(A) \cdot s(B \cap C) = 5 \cdot 4 = 20 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
AA, BB ve CC kümelerinin eleman sayılarını ve kesişim kümelerini belirleyin.
s(A)=5s(A) = 5, s(B)=6s(B) = 6, s(C)=6s(C) = 6 ve B∩C={4,5,6,7}B \cap C = \{4, 5, 6, 7\} olduğundan s(B∩C)=4s(B \cap C) = 4 olur.
Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısını hesaplamak için bileşen kümelerin eleman sayılarına ihtiyaç vardır.
2
Kartezyen çarpımın kesişim işlemi üzerindeki dağılma özelliğini kullanarak sorulan ifadeyi sadeleştirin.
(A×B)∩(A×C)=A×(B∩C)(A \times B) \cap (A \times C) = A \times (B \cap C) eşitliği elde edilir.
Dağılma özelliği sayesinde iki ayrı kartezyen çarpım yerine tek bir kartezyen çarpım üzerinden hesaplama kolayca yapılabilir.
3
Elde edilen yeni kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı formülünü uygulayın.
s(A×(B∩C))=s(A)⋅s(B∩C)=5⋅4=20s(A \times (B \cap C)) = s(A) \cdot s(B \cap C) = 5 \cdot 4 = 20 bulunur.
Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, çarpımı oluşturan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Key Concept

Kartezyen çarpımın kesişim işlemi üzerine dağılma özelliği ve eleman sayısı formülü.
Estimated Time:1m 30s
Question 16Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx ve yy gerçel sayısı için
f(x+y)=f(x)+f(y)+3xyf(x + y) = f(x) + f(y) + 3xy
eşitliğini sağlamaktadır.

f(1)=2f(1) = 2 olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Doğru cevap 15'tir.
Fonksiyon kuralında x=1,y=1x = 1, y = 1 yazıldığında f(2)=7f(2) = 7 bulunur. Ardından x=2,y=1x = 2, y = 1 yazılarak f(3)=f(2)+f(1)+6f(3) = f(2) + f(1) + 6 bağıntısından 7+2+6=157 + 2 + 6 = 15 sonucuna doğru şekilde ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyon kuralında x=1x = 1 ve y=1y = 1 yazılır.
f(2)=f(1)+f(1)+3(1)(1)f(2) = f(1) + f(1) + 3(1)(1) denklemi elde edilir.
f(3)f(3) değerini bulmak için geçiş basamağı olan f(2)f(2) değerinin hesaplanması gerekir.
2
Verilen f(1)=2f(1) = 2 değeri denklemde yerine yazılır.
f(2)=2+2+3=7f(2) = 2 + 2 + 3 = 7 olarak bulunur.
Hesaplanan bu ara değer bir sonraki adımda kullanılacaktır.
3
Fonksiyon kuralında x=2x = 2 ve y=1y = 1 yazılır.
f(3)=f(2)+f(1)+3(2)(1)f(3) = f(2) + f(1) + 3(2)(1) denklemi elde edilir.
f(3)f(3) değerine doğrudan ulaşmak için uygun değerler seçilmiştir.
4
f(2)=7f(2) = 7 ve f(1)=2f(1) = 2 değerleri yerine konularak işlem tamamlanır.
f(3)=7+2+6=15f(3) = 7 + 2 + 6 = 15 bulunur.
Dört işlem kuralları doğru uygulanarak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Fonksiyonlarda değer bulma ve fonksiyonel denklemleri çözme

Hints

1
İstenen f(3)f(3) değerine doğrudan ulaşmak yerine öncelikle geçiş basamağı olarak f(2)f(2) değerini hesaplamayı deneyin.
2
f(2)f(2) değerini elde etmek için fonksiyon eşitliğinde xx ve yy değişkenlerinin her ikisine de 11 değerini verin.
3
f(2)=7f(2) = 7 bulduktan sonra, f(3)f(3) değerine ulaşmak için eşitlikte x=2x = 2 ve y=1y = 1 yazarak çözüme gidin.

Practice More

Benzer bir yöntemle f(x⋅y)=f(x)+f(y)f(x \cdot y) = f(x) + f(y) şeklindeki logaritmik özellik gösteren fonksiyonlarda değer bulma sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Fonksiyonun genel kuralı f(x)=ax2+bxf(x) = ax^2 + bx formundadır. f(x+y)=a(x+y)2+b(x+y)=ax2+bx+ay2+by+2axyf(x+y) = a(x+y)^2 + b(x+y) = ax^2 + bx + ay^2 + by + 2axy olduğundan, 2a=3  ⟹  a=3/22a = 3 \implies a = 3/2 olur. f(1)=a+b=2  ⟹  3/2+b=2  ⟹  b=1/2f(1) = a + b = 2 \implies 3/2 + b = 2 \implies b = 1/2 bulunur. Buradan genel kural f(x)=32x2+12xf(x) = \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{2}x olarak elde edilir. x=3x=3 için f(3)=272+32=15f(3) = \frac{27}{2} + \frac{3}{2} = 15 bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Question 17Question →
A={x∈Z:∣x−2∣≤3}A = \{ x \in \mathbb{Z} : |x - 2| \leq 3 \}
B={y∈Z:∣y+1∣≤2}B = \{ y \in \mathbb{Z} : |y + 1| \leq 2 \}
kümeleri veriliyor.

Buna göre, A×BA \times B kartezyen çarpım kümesinin elemanları olan (x,y)(x, y) sıralı ikililerinden kaç tanesi x+y>2x + y > 2 koşulunu sağlar?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

10
Doğru seçenekte belirtilen değer, A ve B kümelerinin elemanları listelenip x+y>2x + y > 2 koşulunu sağlayan (x,y)(x, y) sıralı ikilileri tek tek gruplandırıldığında elde edilen 10 değeridir. y=1y = 1 için x∈{2,3,4,5}x \in \{2, 3, 4, 5\} (4 adet), y=0y = 0 için x∈{3,4,5}x \in \{3, 4, 5\} (3 adet), y=−1y = -1 için x∈{4,5}x \in \{4, 5\} (2 adet), y=−2y = -2 için x∈{5}x \in \{5\} (1 adet) ve y=−3y = -3 için koşulu sağlayan eleman bulunmamaktadır. Toplamda 4+3+2+1=104+3+2+1=10 adet sıralı ikili vardır.

Step-by-Step Solution

1
A kümesinin elemanlarını belirlemek için ∣x−2∣≤3|x - 2| \leq 3 eşitsizliğini çözün.
A={−1,0,1,2,3,4,5}A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}
Mutlak değer özelliğinden −3≤x−2≤3-3 \leq x - 2 \leq 3 yazılır. Her tarafa 2 eklendiğinde −1≤x≤5-1 \leq x \leq 5 elde edilir.
2
B kümesinin elemanlarını belirlemek için ∣y+1∣≤2|y + 1| \leq 2 eşitsizliğini çözün.
B={−3,−2,−1,0,1}B = \{-3, -2, -1, 0, 1\}
Mutlak değer özelliğinden −2≤y+1≤2-2 \leq y + 1 \leq 2 yazılır. Her taraftan 1 çıkarıldığında −3≤y≤1-3 \leq y \leq 1 elde edilir.
3
B kümesindeki her bir yy değeri için x+y>2  ⟹  x>2−yx + y > 2 \implies x > 2 - y koşulunu sağlayan x∈Ax \in A de��erlerini bulun.
y = 1 için 4, y = 0 için 3, y = -1 için 2, y = -2 için 1, y = -3 için 0 değer bulunur.
y = 1 ise x > 1 olmalıdır. A kümesinden {2, 3, 4, 5} olmak üzere 4 eleman vardır. y = 0 ise x > 2 olmalıdır. A kümesinden {3, 4, 5} olmak üzere 3 eleman vardır. y = -1 ise x > 3 olmalıdır. A kümesinden {4, 5} olmak üzere 2 eleman vardır. y = -2 ise x > 4 olmalıdır. A kümesinden {5} olmak üzere 1 eleman vardır. y = -3 ise x > 5 olmalıdır. A kümesinden bu koşulu sağlayan eleman yoktur.
4
Her durum için bulunan eleman sayılarını toplayın.
4+3+2+1+0=104 + 3 + 2 + 1 + 0 = 10
Toplam sağlayan durumların sayısı aranan sıralı ikililerin sayısını verir.

Key Concept

Kartezyen çarpım kümesindeki elemanların belirli bir koşula göre sayılması

Hints

1
Öncelikle A ve B kümelerinin elemanları olan tam sayıları mutlak değerli eşitsizlikleri çözerek ayrı ayrı listeleyin.
2
Kartezyen çarpımın elemanları (x,y)(x, y) şeklindedir, burada x∈Ax \in A ve y∈By \in B'dir. Koşulumuz olan x+y>2x + y > 2 ifadesini x>2−yx > 2 - y şeklinde yazarak inceleyebilirsiniz.
3
B kümesindeki her bir yy elemanı için (yani 1,0,−1,−2,−31, 0, -1, -2, -3 için) x>2−yx > 2 - y eşitsizliğini sağlayan kaç tane x∈Ax \in A elemanı olduğunu tek tek belirleyip toplayın.

Practice More

Benzer şekilde, x⋅y<0x \cdot y < 0 koşulunu sağlayan sıralı ikililerin sayısını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Tüm durumların sayısından (yani s(A×B)=7×5=35s(A \times B) = 7 \times 5 = 35), x+y≤2x + y \leq 2 koşulunu sağlayan durumların sayısını çıkararak da sonuca ulaşabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 18Question →
Tanımlı olduğu aralıkta ff ve gg fonksiyonları
f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3
g(x)=3x−1x+1g(x) = \frac{3x - 1}{x + 1}
eşitliklerini sağlamaktadır.
(f∘g)(a)=5(f \circ g)(a) = 5
olduğuna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 11

Answer

Aranan aa değeri 11 olarak bulunur.
Bileşke fonksiyon tanımına göre (f∘g)(a)=f(g(a))=5(f \circ g)(a) = f(g(a)) = 5 yazılır. f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3 olduğundan f(g(a))=2g(a)+3=5f(g(a)) = 2g(a) + 3 = 5 olur. Buradan 2g(a)=22g(a) = 2 ve dolayısıyla g(a)=1g(a) = 1 elde edilir. g(x)=3x−1x+1g(x) = \frac{3x - 1}{x + 1} olduğundan g(a)=3a−1a+1=1g(a) = \frac{3a - 1}{a + 1} = 1 eşitliği kurulur. İçler dışlar çarpımı yapıldığında 3a−1=a+13a - 1 = a + 1 denklemi elde edilir. Buradan 2a=22a = 2 ve sonuç olarak a=1a = 1 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Bileşke fonksiyon tanımını kullanarak (f∘g)(a)=5(f \circ g)(a) = 5 eşitliğini f(g(a))=5f(g(a)) = 5 şeklinde yazmak.
f(g(a))=5f(g(a)) = 5
Bileşke fonksiyon işleminde dıştaki fonksiyonun içine içteki fonksiyon yazılır.
2
f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3 fonksiyonunda xx yerine g(a)g(a) yazarak 2g(a)+3=52g(a) + 3 = 5 denklemini elde etmek ve buradan g(a)g(a) değerini bulmak.
2g(a)=2  ⟹  g(a)=12g(a) = 2 \implies g(a) = 1
f(g(a))f(g(a)) ifadesini elde etmek ve g(a)g(a) değerini yalnız bırakmak için.
3
g(x)=3x−1x+1g(x) = \frac{3x - 1}{x + 1} fonksiyonunda xx yerine aa yazıp sonucu 11'e eşitleyerek aa değerini bulmak.
3a−1a+1=1  ⟹  3a−1=a+1  ⟹  2a=2  ⟹  a=1\frac{3a - 1}{a + 1} = 1 \implies 3a - 1 = a + 1 \implies 2a = 2 \implies a = 1
g(a)=1g(a) = 1 eşitliğini sağlayan aa değerini belirlemek için.

Key Concept

Bileşke fonksiyonlarda işlem sırası ve fonksiyon değerlerinin hesaplanması
Question 19Question →

Bir iş yerindeki 6060 çalışanın her biri çay veya kahve içeceklerinden en az birini tüketmektedir. Bu çalışanlar ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Çay tüketen kadın çalışanların sayısı, kahve tüketen erkek çalışanların sayısının 22 katıdır.
* Sadece çay tüketen erkek çalışanların sayısı, sadece kahve tüketen kadın ��alışanların sayısına eşittir.
* Hem çay hem kahve tüketen erkek çalışanların sayısı, sadece çay tüketen kadın çalışanların sayısının yarısıdır.
* Hem çay hem kahve tüketen kadın çal��şanların sayısı 66'dır.
* Kadın çalışanların toplam sayısı, erkek çalışanların toplam sayısından 1010 fazladır.

Buna göre, bu iş yerinde çay tüketen erkek çalışan sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 22

Answer

Çay tüketen erkek çalışan sayısı 22'dir.
Çay tüketen erkek çalışan sayısı, sadece çay tüketen erkek çalışanlar (15 kişi) ile hem çay hem kahve tüketen erkek çalışanların (7 kişi) toplamına eşittir. Bu iki değerin toplanmasıyla 22 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Sorudaki verileri küme sembolleriyle ifade edip bilinen değerleri yerine yazarak ilk bilinmeyeni bulalım.
Sadece kahve tüketen erkek çalışan sayısı (EKaE_{Ka}) 33 olarak bulunur.
Çay tüketen kadınların sayısı (KC\c+KC\c∩KaK_{Ç} + K_{Ç\cap Ka}), kahve tüketen erkeklerin sayısının (EKa+EC\c∩KaE_{Ka} + E_{Ç\cap Ka}) iki katıdır. KC\c=2EC\c∩KaK_{Ç} = 2 E_{Ç\cap Ka} ve KC\c∩Ka=6K_{Ç\cap Ka} = 6 değerleri yerine yazıldığında, 2EC\c∩Ka+6=2(EKa+EC\c∩Ka)⇒2EC\c∩Ka+6=2EKa+2EC\c∩Ka2 E_{Ç\cap Ka} + 6 = 2(E_{Ka} + E_{Ç\cap Ka}) \Rightarrow 2 E_{Ç\cap Ka} + 6 = 2 E_{Ka} + 2 E_{Ç\cap Ka} olur. Buradan 2EKa=6⇒EKa=32 E_{Ka} = 6 \Rightarrow E_{Ka} = 3 elde edilir.
2
Toplam çalışan sayısından yola çıkarak birinci denklemi oluşturalım.
2EC\c+3EC\c∩Ka=512 E_{Ç} + 3 E_{Ç\cap Ka} = 51 denklemi elde edilir.
Toplam 60 çalışan olduğundan EC\c+EKa+EC\c∩Ka+KC\c+KKa+KC\c∩Ka=60E_{Ç} + E_{Ka} + E_{Ç\cap Ka} + K_{Ç} + K_{Ka} + K_{Ç\cap Ka} = 60 yazılır. EKa=3E_{Ka} = 3, KC\c∩Ka=6K_{Ç\cap Ka} = 6, KC\c=2EC\c∩KaK_{Ç} = 2 E_{Ç\cap Ka} ve KKa=EC\cK_{Ka} = E_{Ç} değerleri yerine yazıldığında: EC\c+3+EC\c∩Ka+2EC\c∩Ka+EC\c+6=60⇒2EC\c+3EC\c∩Ka+9=60⇒2EC\c+3EC\c∩Ka=51E_{Ç} + 3 + E_{Ç\cap Ka} + 2 E_{Ç\cap Ka} + E_{Ç} + 6 = 60 \Rightarrow 2 E_{Ç} + 3 E_{Ç\cap Ka} + 9 = 60 \Rightarrow 2 E_{Ç} + 3 E_{Ç\cap Ka} = 51 olur.
3
Kadın ve erkek çalışan sayıları farkını kullanarak ikinci bir denklem elde edip bilinmeyenleri çözelim.
Hem çay hem kahve tüketen erkek sayısı (EC\c∩KaE_{Ç\cap Ka}) 77 olarak bulunur.
Kadın sayısı ile erkek sayısı farkı 10'dur: ∣K∣−∣E∣=10⇒(KC\c+KKa+KC\c∩Ka)−(EC\c+EKa+EC\c∩Ka)=10|K| - |E| = 10 \Rightarrow (K_{Ç} + K_{Ka} + K_{Ç\cap Ka}) - (E_{Ç} + E_{Ka} + E_{Ç\cap Ka}) = 10. Değerler yazıldığında: (2EC\c∩Ka+EC\c+6)−(EC\c+3+EC\c∩Ka)=10⇒EC\c∩Ka+3=10⇒EC\c∩Ka=7(2 E_{Ç\cap Ka} + E_{Ç} + 6) - (E_{Ç} + 3 + E_{Ç\cap Ka}) = 10 \Rightarrow E_{Ç\cap Ka} + 3 = 10 \Rightarrow E_{Ç\cap Ka} = 7 elde edilir.
4
Elde edilen değerlerle çay tüketen erkek çalışan sayısını hesaplayalım.
Çay tüketen erkek çalışan sayısı 2222 olarak bulunur.
2EC\c+3EC\c∩Ka=512 E_{Ç} + 3 E_{Ç\cap Ka} = 51 denkleminde EC\c∩Ka=7E_{Ç\cap Ka} = 7 yazılırsa, 2EC\c+21=51⇒2EC\c=30⇒EC\c=152 E_{Ç} + 21 = 51 \Rightarrow 2 E_{Ç} = 30 \Rightarrow E_{Ç} = 15 bulunur. Çay tüketen erkeklerin sayısı ise sadece çay tüketenler ile her ikisini tüketenlerin toplamıdır: EC\c+EC\c∩Ka=15+7=22E_{Ç} + E_{Ç\cap Ka} = 15 + 7 = 22'dir.

Key Concept

Kümeler yardımıyla denklem kurma ve problem çözme

Hints

1
Çalışanları cinsiyetlerine (Erkek/Kadın) ve tükettikleri içeceklere (Sadece Çay, Sadece Kahve, Her İkisi) göre gruplandırarak bir tablo oluşturun.
2
Çay tüketen kadınların sayısı ile kahve tüketen erkeklerin sayısı arasındaki ilişkiyi kullanarak sadece kahve içen erkek çalışan sayısını doğrudan bulabilirsiniz.
3
Toplam çalışan sayısından elde ettiğiniz denklem ile kadın ve erkeklerin sayıları arasındaki farktan elde ettiğiniz iki bilinmeyenli denklemi ortak çözerek kesişim bölgesini bulun.

Practice More

Benzer mantıkla kurgulanmış, üç kümenin (örneğin dil kursuna gidenler) cinsiyete göre ayrıldığı daha karmaşık küme problemlerini çözebilirsiniz.

Alternative Method

Tablo yöntemi yerine Venn şeması üzerinde Erkek ve Kadın bölgelerini iki ayrı katman olarak çizip elemanları yerleştirebilirsiniz. Bu sayede görsel olarak hangi bölgelerin birbirine eşit olduğunu daha rahat görebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 20Question →

Boş kümeden farklı A,BA, B ve CC sonlu kümeleri için, A×BA \times B ve B×CB \times C kartezyen çarpım kümelerinin eleman sayıları sırasıyla 20 ve 30'dur.

B⊆(A∩C)B \subseteq (A \cap C)

olduğuna göre, A∪CA \cup C kümesinin eleman sayısı en az kaç olabilir?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Kümenin eleman sayısı en az 15 olabilir.
Kümelerin eleman sayıları arasındaki çarpım ilişkisinden s(B)s(B) değeri 1 veya 2 olmak zorundadır. s(B)=2s(B) = 2 seçildiğinde s(A)=10s(A) = 10 ve s(C)=15s(C) = 15 elde edilir. BB kümesi AA ve CC'nin kesişiminin alt kümesi olduğundan, kesişim kümesinin eleman sayısı en fazla s(A)=10s(A) = 10 olabilir. Bu durumda birleşim kümesinin eleman sayısı en az 10+15−10=1510 + 15 - 10 = 15 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü uygulayarak kümelerin eleman sayıları arasındaki ilişkileri belirleyin.
s(A×B)=s(A)×s(B)=20s(A \times B) = s(A) \times s(B) = 20 ve s(B×C)=s(B)×s(C)=30s(B \times C) = s(B) \times s(C) = 30 denklem sistemini elde ederiz. Buradan s(B)s(B) değeri hem 20'nin hem de 30'un ortak bir pozitif tam sayı böleni olmalıdır.
Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, çarpılan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
2
Alt küme ilişkisinden yararlanarak s(B)s(B) için sınırlandırmaları tespit edin.
B⊆(A∩C)B \subseteq (A \cap C) olduğuna göre BB kümesi hem AA kümesinin hem de CC kümesinin bir alt kümesidir. Dolayısıyla s(B)≤s(A)s(B) \leq s(A) ve s(B)≤s(C)s(B) \leq s(C) olmalıdır. 20 ve 30'un ortak bölenleri {1,2,5,10}\{1, 2, 5, 10\} kümesidir. Eğer s(B)=5s(B) = 5 olursa s(A)=4s(A) = 4 olur ki bu durum s(B)≤s(A)s(B) \leq s(A) şartıyla çelişir (5≤45 \leq 4 yanlıştır). Benzer şekilde s(B)=10s(B) = 10 olursa s(A)=2s(A) = 2 olur ve yine çelişki oluşur. Bu durumda s(B)s(B) değeri yalnızca 1 veya 2 olabilir.
Bir küme diğerinin alt kümesi ise eleman sayısı onun eleman sayısından büyük olamaz.
3
Olası s(B)s(B) değerleri için birleşim kümesinin eleman sayısını en az yapacak durumu bulun.
s(A∪C)=s(A)+s(C)−s(A∩C)s(A \cup C) = s(A) + s(C) - s(A \cap C) formülünü kullanırız. s(A∪C)s(A \cup C)'yi en az yapmak için kesişim kümesinin eleman sayısı olan s(A∩C)s(A \cap C)'yi en büyük seçmeliyiz. B⊆(A∩C)B \subseteq (A \cap C) olduğundan s(A∩C)s(A \cap C) en az s(B)s(B) olmalıdır. Kesişim kümesinin maksimum eleman sayısı ise min⁡(s(A),s(C))\min(s(A), s(C)) kadardır. s(B)=2s(B) = 2 için s(A)=10s(A) = 10 ve s(C)=15s(C) = 15 olur. Bu durumda kesişim kümesi en fazla min⁡(10,15)=10\min(10, 15) = 10 elemanlı seçilebilir ve birleşim kümesinin eleman sayısı en az 10+15−10=1510 + 15 - 10 = 15 olur. s(B)=1s(B) = 1 için ise s(A)=20s(A) = 20 ve s(C)=30s(C) = 30 olur, birleşim en az 20+30−20=3020 + 30 - 20 = 30 olur. Dolayısıyla minimum değer 15'tir.
Birleşim kümesinin eleman sayısını en az yapmak için kesişim kümesini en büyük değerinde seçmek gerekir.

Key Concept

Kartezyen çarpımın eleman sayısı özellikleri ve kümelerde alt küme ilişkisi ile birleşim-kesişim işlemleri arasındaki eşitsizlikler.
Page 1 / 4Next
Kümeler, Fonksiyonlar ve İşlem Practice Questions — ALES | Examkin