Examkin

Question

Difficulty: HardSayı Problemleri

Bir kargo şirketi taşıdığı paketleri ağırlıklarına göre;
- Hafif (00 - 55 kg arası)
- Orta (55 - 1515 kg arası)
- Ağır (1515 kg ve üzeri)
olmak üzere üç gruba ayırmakta ve bu paketler için sırasıyla 3030 TL, 5050 TL ve 9090 TL kargo ücreti almaktadır.

Bu kargo şirketine gönderilmek üzere toplam 4545 adet paket teslim edilmiştir. Bu paketlerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
- Hafif paketlerin ağırlık ortalaması 22 kg'dır.
- Orta paketlerin ağırlık ortalaması 88 kg'dır.
- Ağır paketlerin ağırlık ortalaması 1818 kg'dır.
- Paketlerin toplam ağırlığı 450450 kg'dır.

Bu gönderi için toplam 26702670 TL kargo ücreti ödendiğine göre, teslim edilen hafif paketlerin sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    10
  2. B
    12
  3. 15Answer
  4. D
    18
  5. E
    20

Answer

Hafif paketlerin sayısı 15'tir.
Verilen bilgiler doğrultusunda kurulan üç bilinmeyenli denklem sistemi çözüldüğünde hafif paketlerin sayısını temsil eden değişkenin değeri 15 olarak bulunur. Bu değer, tüm denklem kısıtlarını (toplam adet, toplam ağırlık ve toplam kargo ücreti) eksiksiz şekilde sağlamaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Değişkenleri tanımlayıp denklemleri kuralım.
Hafif paket sayısı xx, orta paket sayısı yy ve ağır paket sayısı zz olsun. Toplam paket sayısı: x+y+z=45x + y + z = 45. Toplam ağırlık: 2x+8y+18z=4502x + 8y + 18z = 450 kg. Toplam kargo ücreti: 30x+50y+90z=267030x + 50y + 90z = 2670 TL.
Soruda verilen toplam paket sayısı, ağırlık ortalamaları ve kargo ücretleri arasındaki ilişkileri matematiksel olarak ifade etmek için.
2
A��ırlık ve ücret denklemlerini sadeleştirelim.
Ağırlık denklemi her iki tarafı 2'ye bölünerek: x+4y+9z=225x + 4y + 9z = 225 olur. Ücret denklemi her iki tarafı 10'a bölünerek: 3x+5y+9z=2673x + 5y + 9z = 267 elde edilir.
Daha küçük katsayılarla işlem yaparak hata riskini azaltmak ve sistemi sadeleştirmek için.
3
zz değişkenini yok etmek için sadeleştirilen denklemleri taraf tarafa çıkaralım.
(3x+5y+9z)−(x+4y+9z)=267−225  ⟹  2x+y=42(3x + 5y + 9z) - (x + 4y + 9z) = 267 - 225 \implies 2x + y = 42 elde edilir. Buradan y=42−2xy = 42 - 2x olarak yazılabilir.
Bilinmeyen sayısını azaltmak ve değişkenler arasında bir ilişki kurmak için.
4
x+y+z=45x + y + z = 45 denklemini kullanarak xx ve yy arasında ikinci bir denklem elde edelim.
x+y+z=45x + y + z = 45 denklemini 9 ile çarptığımızda 9x+9y+9z=4059x + 9y + 9z = 405 olur. Bu denklemden 3x+5y+9z=2673x + 5y + 9z = 267 denklemini çıkarırsak: (9x+9y+9z)−(3x+5y+9z)=405−267  ⟹  6x+4y=138(9x + 9y + 9z) - (3x + 5y + 9z) = 405 - 267 \implies 6x + 4y = 138 elde edilir. Denklemi 2 ile sadeleştirdiğimizde 3x+2y=693x + 2y = 69 olur.
Sistemdeki zz değişkenini tamamen yok edip iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturmak için.
5
y=42−2xy = 42 - 2x ifadesini 3x+2y=693x + 2y = 69 denkleminde yerine koyarak xx değerini bulalım.
3x+2(42−2x)=69  ⟹  3x+84−4x=69  ⟹  −x=−15  ⟹  x=153x + 2(42 - 2x) = 69 \implies 3x + 84 - 4x = 69 \implies -x = -15 \implies x = 15 olarak bulunur.
Tek bilinmeyenli denklemi çözerek hafif paketlerin sayısına doğrudan ulaşmak için.

Key Concept

Çok bilinmeyenli doğrusal denklem sistemlerinin kurulması, sadeleştirilmesi ve yok etme/yerine koyma metotları ile çözülmesi.

Hints

1
Hafif, orta ve ağır paketlerin sayılarına sırasıyla xx, yy ve zz diyerek üç adet bağımsız denklem yazmayı deneyin.
2
Toplam ağırlık denklemini (2x+8y+18z=4502x + 8y + 18z = 450) ve toplam ücret denklemini (30x+50y+90z=267030x + 50y + 90z = 2670) sadeleştirerek zz katsayılarını eşitlemeye çalışın.
3
Elde ettiğiniz denklemleri taraf tarafa çıkararak zz bilinmeyenini yok edin. Böylece xx ve yy arasında iki farklı denklem elde edip sonuca ulaşabilirsiniz.

Practice More

Benzer üç bilinmeyenli denklem sistemlerini hızlıca çözebilmek için yok etme yönteminde katsayısı büyük olan değişkenleri (zz gibi) ilk aşamada yok etmeye odaklanabilirsiniz.

Alternative Method

Denklem sisteminde z=45−x−yz = 45 - x - y yazarak ağırlık ve ücret denklemlerindeki zz yerine bu ifadeyi koyup doğrudan iki bilinmeyenli bir sistem elde edebilirsiniz. 2x+8y+18(45−x−y)=450  ⟹  16x+10y=3602x + 8y + 18(45 - x - y) = 450 \implies 16x + 10y = 360 ve 30x+50y+90(45−x−y)=2670  ⟹  60x+40y=138030x + 50y + 90(45 - x - y) = 2670 \implies 60x + 40y = 1380 elde edilir. Bu iki denklemi çözdüğünüzde yine x=15x = 15 sonucuna ulaşırsınız.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Sayı Problemleri

More questions from this topic