Examkin

Question

Difficulty: HardŞekil Bağıntıları ve İşlemler

Bir kenar sayısı nn olan düzgün çokgenler ve içlerine yazılan sayılarla ilgili aşağıdaki işlemler tanımlanıyor:

- Üçgen içindeki bir xx sayısı için: △(x)=2x+1\triangle(x) = 2x + 1
- Kare içindeki bir xx sayısı için: □(x)=x2−4x\square(x) = x^2 - 4x
- Beşgen içindeki bir xx sayısı için: \pentagon(x)=3x−5\pentagon(x) = 3x - 5

Buna göre, dışta bir beşgen, onun içinde bir kare ve en içte içinde aa tam sayısı yazan bir üçgenin bulunduğu iç içe yerleştirilmiş şeklin toplam değeri 5858 olduğuna göre, aa tam sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    -2
  2. B
    -1
  3. 1Answer
  4. D
    3
  5. E
    5

Answer

a sayısının alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı olan 1'dir.
En dıştaki beşgen işleminin kuralından başlanarak içeri doğru gidildiğinde, beşgenin içindeki karenin değeri 21 olarak bulunur. Kare işleminin kuralı uygulandığında, karenin içindeki üçgenin değeri 7 veya -3 olabilir. En içteki üçgen işleminin kuralları bu iki değere eşitlendiğinde, a tam sayısı 3 veya -2 değerlerini alır. Bu değerlerin toplamı ise 1'dir.

Step-by-Step Solution

1
En dıştaki şekil olan beşgenden başlayarak denklem kurulur. Beşgenin içindeki ifadenin tamamına ZZ dersek, beşgen işleminin tanımından yararlanılır.
Z=21Z = 21 olarak bulunur.
\pentagon(Z)=3Z−5=58  ⟹  3Z=63  ⟹  Z=21\pentagon(Z) = 3Z - 5 = 58 \implies 3Z = 63 \implies Z = 21 elde edilir. Bu değer kare ve içindeki üçgenin toplam değeridir.
2
Karenin içindeki üçgen ifadesine YY denilerek kare işlemi ZZ değerine eşitlenir.
Y=7Y = 7 veya Y=−3Y = -3 olarak bulunur.
□(Y)=Y2−4Y=21  ⟹  Y2−4Y−21=0  ⟹  (Y−7)(Y+3)=0\square(Y) = Y^2 - 4Y = 21 \implies Y^2 - 4Y - 21 = 0 \implies (Y-7)(Y+3) = 0 denkleminden iki farklı kök elde edilir.
3
Elde edilen YY değerleri en içteki üçgen işlemine eşitlenerek aa tam sayısının alabileceği değerler hesaplanır.
a=3a = 3 veya a=−2a = -2 olarak bulunur.
2a+1=7  ⟹  a=32a + 1 = 7 \implies a = 3 ve 2a+1=−3  ⟹  a=−22a + 1 = -3 \implies a = -2 denklemleri çözülür.
4
aa sayısının alabileceği tam sayı değerleri toplanır.
Değerlerin toplamı 3+(−2)=13 + (-2) = 1 olarak elde edilir.
Soruda istenen aa değerlerinin toplamına ulaşmak için bulduğumuz iki tam sayı toplanmıştır.

Key Concept

İç içe tanımlanmış şekil operatörlerinde dıştan içe doğru denklem çözme ve ikinci dereceden denklemlerde tüm kök durumlarını analiz etme.

Hints

1
En dıştaki şekilden (beşgenden) başlayarak içeriye doğru gidin. Beşgenin sonucunu veren değeri bulup bir içteki şekle eşitleyin.
2
Kare işlemini çözümlerken karşınıza ikinci dereceden bir denklem çıkacaktır. Bu denklemin hem pozitif hem de negatif köklerini ayrı ayrı değerlendirmeyi unutmayın.

Practice More

Benzer şekilde iç içe yerleştirilmiş farklı kenar sayılarına sahip çokgen soruları çözerek değişken aralıklarını ve çift dereceli terimlerin kök analizlerini pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

İç içe geçmiş fonksiyon bileşkesi olarak f(x)=3x−5f(x) = 3x - 5, g(x)=x2−4xg(x) = x^2 - 4x ve h(x)=2x+1h(x) = 2x + 1 tanımlanarak, (f∘g∘h)(a)=58(f \circ g \circ h)(a) = 58 eşitliği üzerinden doğrudan fonksiyonların tersi adımlarıyla da çözüm yapılabilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Şekil Bağıntıları ve İşlemler

More questions from this topic