Yarıçapı 3r olan K çarkı ile yarıçapı 2r olan L çarkı birbirine temas edecek şekilde yerle… — ALES

Yarıçapı $3r$ olan $K$ çarkı ile yarıçapı $2r$ olan $L$ çarkı birbirine temas edecek şekilde yerleştirilmiştir. Bu çarklarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* $K$ çarkının üzerinde eşit aralıklarla $1$ 'den $12$ 'ye kadar sayılar saat yönünde ardışık olarak yazılmıştır.
* $L$ çarkının üzerinde ise eşit aralıklarla $1$ 'den $8$ 'e kadar sayılar saat yönünün tersi yönde ardışık olarak yazılmıştır.
* Her iki çarkın da en üst noktasında sabit birer gösterge (ibre) bulunmaktadır ve başlangıçta her iki gösterge de kendi çarkındaki $1$ sayısını göstermektedir.

Buna göre, $K$ çarkı saat yönünde $2,5$ tur döndürüldüğünde, $L$ çarkının göstergesi hangi sayıyı gösterir?

A
1
3Answer
C
5
D
6
E
7

Answer

L çarkının göstergesi 3 sayısını gösterir.

K çarkı saat yönünde

2,5

tur döndüğünde, temas eden L çarkı saat yönünün tersine döner. L çarkının yarıçapı

2r

olduğundan, tur sayısı

2,5 \times (3/2) = 3,75

tur olur. L çarkı 8 bölmeli olduğundan, toplamda

3,75 \times 8 = 30

bölme ilerler.

30 \equiv 6 \pmod 8

olduğundan, göstergenin altından geçen sayılar başlangıçtaki 1 değerinden itibaren saat yönünün tersi dönme hareketiyle azalan sırada (

1 \rightarrow 8 \rightarrow 7 \rightarrow 6 \rightarrow 5 \rightarrow 4 \rightarrow 3

) ilerler ve 6. adımda 3 sayısına ulaşılır.

Step-by-Step Solution

Çarkların birbirine temas ettiği durumlarda dönme yönlerini belirleme.

K çarkı saat yönünde döndürüldüğünde, onunla temas halinde olan L çarkı saat yönünün tersi yönde dönecektir.

Temas halindeki dişli çarklar birbirini zıt yönde döndürür.

Çarkların yarıçapları ile tur sayıları arasındaki ters orantıyı kullanarak L çarkının kaç tur döneceğini hesaplama.

N_K \times r_K = N_L \times r_L

ilişkisinden,

2,5 \times 3r = N_L \times 2r \implies N_L = 3,75

tur elde edilir.

Çarkların yarıçapları (veya diş sayıları) ile dönme tur sayıları ters orantılıdır.

L çarkının üzerindeki bölmelerin hareket miktarını bulma.

L çarkı 8 bölmeye ayrılmıştır. 3,75 tur döndüğünde toplam

3,75 \times 8 = 30

bölme ilerlemiş olur. (Alternatif olarak: K çarkında

2,5 \times 12 = 30

bölme ilerlendiği için, temas noktasından aynı sayıda bölme geçeceğinden L çarkında da 30 bölme ilerlenir).

Çarklar üzerindeki bölmelerin (dişlerin) eşit uzunlukta olduğu varsayımıyla, temas noktasından geçen bölme sayısı iki çark için de eşittir.

30 bölme ilerleme sonrasında göstergenin işaret edeceği sayıyı modüler aritmetik kullanarak bulma.

30 \equiv 6 \pmod 8

olur. L çarkının üzerindeki sayılar saat yönünün tersine dizilmiştir (1, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2). Çark saat yönünün tersine döndüğünde, sabit göstergenin altından sırasıyla

1 \rightarrow 8 \rightarrow 7 \rightarrow 6 \rightarrow 5 \rightarrow 4 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \dots

sayıları geçecektir. Başlangıçta 1'de olan ibre 6 adım ilerlediğinde 3 sayısını gösterir.

L çarkı saat yönünün tersine döndüğünde sayılar saat yönünde ilerliyormuş gibi göstergenin altından geçer ve her 8 bölmede bir başlangıç durumuna dönülür.

Key Concept

Temas halindeki dairesel çarklarda yarıçap-tur sayısı ilişkisi ve dönme yönüne bağlı olarak çevresel bölmelerin modüler hareketi.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic