Examkin

Question

Difficulty: HardKüme Problemleri

Bir spor salonundaki üyelerin beslenme ve egzersiz alışkanlıklarıyla ilgili yapılan bir araştırmada şu sonuçlar elde edilmiştir:

* Üyelerin %65\%65’i düzenli kardiyo yapmaktadır.
* Üyelerin %50\%50’si düzenli olarak protein ağırlıklı beslenmektedir.
* Düzenli kardiyo yapıp protein ağırlıklı beslenmeyen üyelerin sayısı, bu iki alışkanlıktan hiçbirine sahip olmayan üyelerin sayısının 33 katıdır.
* Hem düzenli kardiyo yapan hem de protein ağırlıklı beslenen üye sayısı 2222’dir.

Buna göre, araştırmaya katılan toplam üye sayısı kaçtır?

  1. A
    40
  2. B
    55
  3. C
    60
  4. 80Answer
  5. E
    110

Answer

Araştırmaya katılan toplam üye sayısı 80'dir.
Toplam üye sayısına 80 denildiğinde; kardiyo yapanlar 80×0,65=5280 \times 0,65 = 52, protein beslenenler 80×0,50=4080 \times 0,50 = 40 kişidir. Hem kardiyo yapan hem protein beslenen 22 kişi olduğundan, sadece kardiyo yapanlar 52−22=3052 - 22 = 30 kişi olur. İki alışkanlıktan en az birine sahip olanlar 30+22+18=7030 + 22 + 18 = 70 kişidir. Hiçbir alışkanlığa sahip olmayanlar ise 80−70=1080 - 70 = 10 kişidir. Sadece kardiyo yapanların sayısı (30), hiçbir alışkanlığa sahip olmayanların sayısının (10) tam olarak 3 katıdır. Bu durum tüm koşulları sağladığı için 80 değeri doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Toplam üye sayısını değişken cinsinden tanımlama
Toplam üye sayısı TT olsun. Bu durumda düzenli kardiyo yapan üye sayısı 0,65T0,65T, protein ağırlıklı beslenen üye sayısı ise 0,50T0,50T olur.
Yüzde problemlerini çözmeyi kolaylaştırmak için toplam miktar değişken cinsinden ifade edilir.
2
Kümelerin kesişimini kullanarak sadece tek bir alışkanlığa sahip olan bölgeleri bulma
Hem kardiyo yapan hem protein beslenen üye sayısı 2222 olduğundan; sadece düzenli kardiyo yapanlar 0,65T−220,65T - 22, sadece protein ağırlıklı beslenenler ise 0,50T−220,50T - 22 olur.
Venn şemasındaki her bir ayrık bölgenin eleman sayısını toplam cinsinden ifade etmek gerekir.
3
İki alışkanlığa da sahip olmayanların (dış bölge) eleman sayısını bulma
En az bir alışkanlığa sahip olanların toplamı (birleşim kümesi): (0,65T−22)+22+(0,50T−22)=1,15T−22(0,65T - 22) + 22 + (0,50T - 22) = 1,15T - 22 olur. Hiçbir alışkanlığa sahip olmayan üye sayısı ise: T−(1,15T−22)=22−0,15TT - (1,15T - 22) = 22 - 0,15T olarak bulunur.
Evrensel kümeden birleşim kümesinin eleman sayısı çıkarılarak iki kümenin de dışında kalan eleman sayısı belirlenir.
4
Verilen oran ilişkisiyle denklem kurma ve çözme
Sadece kardiyo yapanlar, hiçbir alışkanlığa sahip olmayanların 33 katı olduğuna göre:
0,65T−22=3×(22−0,15T)0,65T - 22 = 3 \times (22 - 0,15T)
0,65T−22=66−0,45T0,65T - 22 = 66 - 0,45T
0,65T+0,45T=66+220,65T + 0,45T = 66 + 22
1,1T=881,1T = 88
T=80T = 80 bulunur.
Sözel olarak verilen kat ilişkisi matematiksel eşitliğe dönüştürülerek toplam üye sayısı elde edilir.

Key Concept

Kümelerde eleman sayısı problemleri ve denklem kurma
Rate this question

Topics

Küme Problemleri

More questions from this topic