Examkin

Question

Difficulty: MediumNoktanın Doğruya Uzaklığı

Analitik düzlemde, köşegenlerinin kesim noktası K(2,−1)K(2, -1) olan bir karenin bir kenarı 5x+12y−11=05x + 12y - 11 = 0 doğrusu üzerindedir.

Buna göre, bu karenin çevresi kaç birimdir?

  1. A
    4
  2. B
    6
  3. 8Answer
  4. D
    12
  5. E
    16

Answer

Karenin çevresi 8 birimdir.
Bir noktanın bir doğruya olan dik uzaklığı formülü kullanılarak karenin köşegenlerinin kesim noktasının karenin kenarını taşıyan doğruya olan uzaklığı 11 birim olarak bulunur. Karenin geometrik özellikleri gereği, merkez noktasının herhangi bir kenara olan dik uzaklığı kenar uzunluğunun yarısıdır. Dolayısıyla karenin bir kenar uzunluğu 22 birim olur. Çevresi ise 4×2=84 \times 2 = 8 birim olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Karenin köşegenlerinin kesim noktası olan K(2,−1)K(2, -1) noktasının, karenin kenarını taşıyan 5x+12y−11=05x + 12y - 11 = 0 doğrusuna olan dik uzaklığı (dd) hesaplanır.
d=∣5⋅2+12⋅(−1)−11∣52+122=∣10−12−11∣25+144=∣−13∣13=1d = \frac{|5 \cdot 2 + 12 \cdot (-1) - 11|}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{|10 - 12 - 11|}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{|-13|}{13} = 1 birim.
Bir noktanın bir doğruya olan en kısa (dik) uzaklığı formülü yardımıyla karenin merkezinin kenara olan uzaklığı bulunur.
2
Karenin ağırlık merkezinden (köşegenlerin kesim noktasından) kenarlarına olan dik uzaklık (dd), karenin bir kenar uzunluğunun yarısına (a/2a/2) eşittir. Bu ilişkiden kenar uzunluğu (aa) elde edilir.
d=a2⇒1=a2⇒a=2d = \frac{a}{2} \Rightarrow 1 = \frac{a}{2} \Rightarrow a = 2 birim.
Karenin simetri özelliğinden dolayı, ağırlık merkezinin herhangi bir kenara olan dik uzaklığı, o kenarın uzunluğunun yarısı kadardır.
3
Kenar uzunluğu a=2a = 2 birim olan karenin çevresi hesaplanır.
C¸evre=4a=4⋅2=8\text{Çevre} = 4a = 4 \cdot 2 = 8 birim.
Karenin çevre uzunluğu, dört kenar uzunluğunun toplamına eşittir.

Key Concept

Bir noktanın bir doğruya olan uzaklığı formülü ve karenin simetri özellikleri
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Noktanın Doğruya Uzaklığı

More questions from this topic