Noktanın Doğruya Uzaklığı
3 questions
Question 1Question →
Analitik düzlemin ikinci bölgesinde bulunan bir P(a,4) noktasının, 3x−4y+28=0 doğrusuna olan uzaklığı 3 birimdir.
Buna göre, P noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
-25
-7
-5
5
7
Show answer & explanation
Answer: -5
Answer
Koordinatlar�� toplamı −5 olan değer doğrudur.
Doğru cevap, koordinatları toplamı −5 olan seçenektir. P(a,4) noktası analitik düzlemin ikinci bölgesinde olduğundan apsisi negatif olmalıdır (a<0). Noktanın doğruya uzaklığı formülü olan d=A2+B2∣Ax0+By0+C∣ bağıntısı uygulandığında, uzaklık 3=32+(−4)2∣3a−4(4)+28∣ olarak ifade edilir. Paydadaki köklü ifade 9+16=5 değerini aldığından, denklem ∣3a+12∣=15 halini alır. Buradan iki durum ortaya çıkar: 3a+12=15⟹a=1 (bu değer birinci bölgededir, a<0 şartını sağlamaz) veya 3a+12=−15⟹a=−9 olur. Bu durumda ikinci bölgedeki nokta P(−9,4) olarak bulunur ve koordinatları toplamı −9+4=−5 olarak elde edilir.
Step-by-Step Solution
1
Noktanın doğruya olan uzaklık formülünü yazıp verilen koordinatları ve doğru denklemini yerine yerleştirin.
d=32+(−4)2∣3(a)−4(4)+28∣=3
P(a,4) noktasının 3x−4y+28=0 doğrusuna olan uzaklığını cebirsel olarak ifade etmek için.
2
Denklemin paydasını hesaplayıp mutlak değerli ifadeyi sadeleştirin.
9+16∣3a−16+28∣=3⟹5∣3a+12∣=3⟹∣3a+12∣=15
Paydadaki dik kenarların kareleri toplamının karekökünü hesaplayarak mutlak değerli denklemi yalnız bırakmak için.
3
Mutlak değerli denklemi açarak a için olası iki değeri hesaplayın.
3a+12=15⟹3a=3⟹a=1 veya 3a+12=−15⟹3a=−27⟹a=−9
Mutlak değerin içindeki ifadenin pozitif veya negatif olma durumlarını ayrı ayrı değerlendirmek için.
4
Noktanın bulunduğu bölge koşulunu kontrol ederek uygun olan a değerini seçin ve koordinatlar toplamını bulun.
P(a,4) noktası ikinci bölgede olduğundan apsisi negatif olmalıdır (a<0). Bu nedenle a=−9 seçilir. Koordinatlar toplamı: −9+4=−5 olur.
İkinci bölgede apsis değerinin negatif olması gerektiğinden a=1 elenir ve doğru nokta P(−9,4) olarak belirlenip koordinatları toplanır.
Key Concept
Noktanın Doğruya Uzaklığı ve Bölge Koordinat İşaretleri İlişkisi
Estimated Time:2m 0s
Question 2Question →
Analitik düzlemde, köşegenlerinin kesim noktası K(2,−1) olan bir karenin bir kenarı 5x+12y−11=0 doğrusu üzerindedir.
Buna göre, bu karenin çevresi kaç birimdir?
4
6
8
12
16
Show answer & explanation
Answer: 8
Answer
Karenin çevresi 8 birimdir.
Bir noktanın bir doğruya olan dik uzaklığı formülü kullanılarak karenin köşegenlerinin kesim noktasının karenin kenarını taşıyan doğruya olan uzaklığı 1 birim olarak bulunur. Karenin geometrik özellikleri gereği, merkez noktasının herhangi bir kenara olan dik uzaklığı kenar uzunluğunun yarısıdır. Dolayısıyla karenin bir kenar uzunluğu 2 birim olur. Çevresi ise 4×2=8 birim olarak elde edilir.
Step-by-Step Solution
1
Karenin köşegenlerinin kesim noktası olan K(2,−1) noktasının, karenin kenarını taşıyan 5x+12y−11=0 doğrusuna olan dik uzaklığı (d) hesaplanır.
d=52+122∣5⋅2+12⋅(−1)−11∣=25+144∣10−12−11∣=13∣−13∣=1 birim.
Bir noktanın bir doğruya olan en kısa (dik) uzaklığı formülü yardımıyla karenin merkezinin kenara olan uzaklığı bulunur.
2
Karenin ağırlık merkezinden (köşegenlerin kesim noktasından) kenarlarına olan dik uzaklık (d), karenin bir kenar uzunluğunun yarısına (a/2) eşittir. Bu ilişkiden kenar uzunluğu (a) elde edilir.
d=2a⇒1=2a⇒a=2 birim.
Karenin simetri özelliğinden dolayı, ağırlık merkezinin herhangi bir kenara olan dik uzaklığı, o kenarın uzunluğunun yarısı kadardır.
3
Kenar uzunluğu a=2 birim olan karenin çevresi hesaplanır.
C¸evre=4a=4⋅2=8 birim.
Karenin çevre uzunluğu, dört kenar uzunluğunun toplamına eşittir.
Key Concept
Bir noktanın bir doğruya olan uzaklığı formülü ve karenin simetri özellikleri
Estimated Time:1m 30s
Question 3Question →
Analitik düzlemde, köşeleri A(1,2) ve B(5,−1) olan bir ABC üçgeninin C köşesi y=3 doğrusu üzerindedir. ABC üçgeninin alanı 10 birimkare olduğuna göre, C noktasının apsisi aşağıdakilerden hangisi olabilir?
−329
−313
−311
−7
−1
Show answer & explanation
Answer: −7
Answer
−7
Üçgenin alanı 10 birimkare ve taban uzunluğu ∣AB∣=5 birim olduğundan, C köşesinin AB doğrusuna olan dik uzaklığı 4 birim olmalıdır. AB doğrusunun denklemi 3x+4y−11=0 olarak bulunur. C(k,3) noktasının bu doğruya olan dik uzaklığı formülü uygulandığında ∣3k+1∣=20 eşitliğine ulaşılır. Buradan 3k+1=−20 durumu incelendiğinde k=−7 apsis değeri elde edilir. Bu değer seçeneklerde yer alan doğru yanıttır.
Step-by-Step Solution
1
A(1,2) ve B(5,−1) noktalarından geçen AB doğrunun denklemini ve [AB] kenarının uzunluğunu bulun.
Eğim m=5−1−1−2=−43 olup doğru denklemi 3x+4y−11=0 ve taban uzunluğu ∣AB∣=(5−1)2+(−1−2)2=5 birim olarak elde edilir.
Üçgenin alanından faydalanarak C köşesinin bu tabana ait yüksekliğini bulmak amacıyla taban uzunluğuna ve doğrunun genel denklemine ihtiyaç duyulur.
2
Üçgenin alan formülünü kullanarak C noktasının AB doğrusuna olan dik uzaklığını (h) hesaplayın.
Alan(ABC)=2∣AB∣⋅h⇒10=25⋅h⇒h=4 birim bulunur.
Alanı ve taban uzunluğu bilinen üçgende yüksekliği belirlemek için temel alan formülü uygulanır.
3
C noktasının koordinatlarını C(k,3) olarak belirleyip noktanın doğruya uzaklığı formülünü uygulayın.
4=32+42∣3(k)+4(3)−11∣⇒4=5∣3k+1∣⇒∣3k+1∣=20 elde edilir.
C noktası y=3 doğrusu üzerinde olduğundan koordinatları C(k,3) şeklindedir. Noktanın doğruya olan dik uzaklığı formülü yardımıyla k değişkenine bağlı mutlak değerli bir eşitlik oluşturulur.
4
Elde edilen mutlak değerli denklemi çözerek olası k değerlerini hesaplayın.
3k+1=20⇒k=319 veya 3k+1=−20⇒k=−7 bulunur.
Mutlak değer içerisindeki ifade hem pozitif hem de negatif değerlere eşitlenerek olası tüm apsis değerleri tespit edilir.
Key Concept
Bir noktanın bir doğruya olan en kısa (dik) uzaklığı, noktanın koordinatlarının doğrunun genel denkleminde (ax+by+c=0) yerine yazılıp mutlak değerinin alınması ve doğrunun katsayılarının kareleri toplamının kareköküne bölünmesiyle bulunur.