Examkin

Question

Difficulty: MediumKüme Problemleri

Bir müzik okulundaki 4545 öğrencinin her biri piyano veya keman enstrümanlarından en az birini çalabilmektedir. Bu okulda sadece piyano çalabilenlerin sayısı, her iki enstrümanı da çalabilenlerin sayısının 22 katıdır. Keman çalabilenlerin sayısı ise sadece piyano çalabilenlerin sayısından 55 fazladır. Buna göre, bu okulda sadece keman çalabilen öğrenci sayısı kaçtır?

  1. 1515Answer
  2. B
    1010
  3. C
    2020
  4. D
    2525
  5. E
    3030

Answer

Sadece keman çalabilen öğrenci sayısı 15'tir.
Her iki enstrümanı da çalabilen öğrenci sayısı xx olarak tanımlandığında, sadece piyano çalabilenler 2x2x olur. Keman çalabilenlerin sayısı ise sadece piyano çalabilenlerden 55 fazla olduğuna göre 2x+52x + 5 olarak ifade edilir. Keman çalabilenlerden her iki enstrümanı da çalan xx kişi çıkarıldığında, sadece keman çalabilenlerin sayısı x+5x + 5 olur. Toplam mevcudu veren 2x+x+(x+5)=452x + x + (x + 5) = 45 denklemi çözüldüğünde x=10x = 10 bulunur. Buradan sadece keman çalabilenlerin sayısı 10+5=1510 + 5 = 15 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Kesişim kümesindeki eleman sayısını değişken olarak tanımlama
Her iki enstrümanı da çalabilen öğrenci sayısı xx olsun. Yani s(P∩K)=xs(P \cap K) = x olur.
Küme problemlerinde bilinmeyenleri yerleştirirken genellikle en içteki kesişim bölgesinden başlamak işlemleri kolaylaştırır.
2
Diğer küme bölgelerini verilen bilgilere göre xx cinsinden yazma
Sadece piyano çalanlar: 2x2x, keman çalanlar: 2x+52x + 5 ve sadece keman çalanlar: (2x+5)−x=x+5(2x + 5) - x = x + 5 olur.
Sadece piyano çalanların sayısı kesişimin 2 katı olarak verilmiş, keman çalan toplam kişi sayısı ise sadece piyano çalanlardan 5 fazla olarak belirtilmiştir.
3
Toplam öğrenci sayısı denklemini kurma ve çözme
2x+x+(x+5)=45⇒4x+5=45⇒4x=40⇒x=102x + x + (x + 5) = 45 \Rightarrow 4x + 5 = 45 \Rightarrow 4x = 40 \Rightarrow x = 10 bulunur.
Tüm öğrencilerin her iki enstrümandan en az birini çaldığı bilindiğinden, kümedeki ayrık bölgelerin toplamı okul mevcudu olan 45'e eşittir.
4
İstenen bölgenin eleman sayısını hesaplama
Sadece keman çalabilen öğrenci sayısı: x+5=10+5=15x + 5 = 10 + 5 = 15 bulunur.
Soruda bizden sadece keman çalabilen öğrenci sayısı istendiği için x+5x+5 ifadesinde bulduğumuz değeri yerine yazarız.

Key Concept

Küme problemlerinde sözel ifadeleri şema üzerinde ayrık bölgelere yerleştirerek denklem çözme

Alternative Method

Denklem kurmak yerine şıklardan gitme yöntemi uygulanabilir. Sadece keman çalan öğrenci sayısı seçeneklerdeki değerlerden biri olmalıdır. Örneğin sadece keman çalanlar 15 ise; keman çalan toplam kişi sayısı 15+x15 + x olur. Verilen bilgiye göre keman çalanlar (15+x15+x) sadece piyano çalanlardan 5 fazladır, dolayısıyla sadece piyano çalanlar 10+x10+x olur. Sadece piyano çalanlar (10+x10+x) kesişimin (xx) 2 katı olduğuna göre 10+x=2x⇒x=1010+x = 2x \Rightarrow x = 10 bulunur. Bu durumda tüm bölgelerin toplamı: sadece piyano (2020) + kesişim (1010) + sadece keman (1515) = 45 mevcudunu doğrulayarak çözümün doğruluğunu kanıtlar.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Küme Problemleri

More questions from this topic