Examkin

Question

Difficulty: Very hardNoktanın Analitik İncelenmesi

Dik koordinat düzleminde, II. bölgede bulunan bir A(a,b)A(a, b) noktası ile IV. bölgede bulunan bir B(c,d)B(c, d) noktası veriliyor. AA ve BB noktalarının orta noktası yy-ekseninin pozitif kısmında olup orijine olan uzaklığı 22 birimdir. AA ve BB noktaları arasındaki uzaklık 1010 birim ve bu noktaların tüm koordinatları birer tam sayı olduğuna göre, AA noktasının koordinatları toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    1
  2. B
    2
  3. 4Answer
  4. D
    6
  5. E
    8

Answer

A noktasının koordinatları toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı 4'tür.
Doğru seçenekte belirtilen değer, A noktasının koordinatları toplamının alabileceği olası değerler olan 3 ve 1 sayılarının toplamıdır. Analitik düzlemdeki bölge koşulları ve uzaklık denklemi tam sayılar kümesinde çözüldüğünde yalnızca bu iki durumun geçerli olduğu görülmektedir.

Step-by-Step Solution

1
Orta noktanın koordinatlarını belirleme
Orta nokta M(0,2)M(0, 2) olarak bulunur.
Orta nokta yy-ekseninin pozitif kısmında ve orijine 22 birim uzaklıkta olduğundan apsisi 00, ordinatı ise 22 olmalıdır.
2
A(a,b)A(a, b) ve B(c,d)B(c, d) koordinatları arasındaki ilişkileri yazma
c=−ac = -a ve d=4−bd = 4-b bağıntıları elde edilir.
Orta nokta formülünden, a+c2=0  ⟹  c=−a\frac{a+c}{2} = 0 \implies c = -a ve b+d2=2  ⟹  d=4−b\frac{b+d}{2} = 2 \implies d = 4-b eşitlikleri yazılır.
3
İki nokta arasındaki uzaklık formülünü uygulama
a2+(b−2)2=25a^2 + (b-2)^2 = 25 denklemi elde edilir.
AA ve BB noktaları arasındaki uzaklık 1010 birim olduğundan AB=(c−a)2+(d−b)2=10  ⟹  (c−a)2+(d−b)2=100AB = \sqrt{(c-a)^2 + (d-b)^2} = 10 \implies (c-a)^2 + (d-b)^2 = 100 olur. c=−ac = -a ve d=4−bd = 4-b değerleri yerine yazıldığında (−2a)2+(4−2b)2=100  ⟹  4a2+4(2−b)2=100  ⟹  a2+(b−2)2=25(-2a)^2 + (4-2b)^2 = 100 \implies 4a^2 + 4(2-b)^2 = 100 \implies a^2 + (b-2)^2 = 25 elde edilir.
4
Bölge sınırlandırmalarını ve tam sayı çözümlerini analiz etme
A(−3,6)A(-3, 6) ve A(−4,5)A(-4, 5) noktaları bulunur.
A(a,b)A(a, b) II. bölgede olduğundan a<0a < 0 ve b>0b > 0 olmalıdır. B(c,d)B(c, d) IV. bölgede olduğundan c>0c > 0 ve d<0d < 0 olmalıdır. c=−ac = -a olduğundan a<0a < 0 ise c>0c > 0 şartı kendiliğinden sağlanır. d=4−b<0d = 4-b < 0 olması için b>4b > 4 şart�� sağlanmalıdır. a2+(b−2)2=25a^2 + (b-2)^2 = 25 denkleminde a<0a < 0 ve b>4b > 4 olan tam sayı çözümleri incelendiğinde:
- a=−3a = -3 için (b−2)2=16  ⟹  b−2=4  ⟹  b=6(b-2)^2 = 16 \implies b-2 = 4 \implies b = 6 (A(−3,6)A(-3, 6) ve B(3,−2)B(3, -2) noktaları oluşur, koşullara uygundur).
- a=−4a = -4 için (b−2)2=9  ⟹  b−2=3  ⟹  b=5(b-2)^2 = 9 \implies b-2 = 3 \implies b = 5 (A(−4,5)A(-4, 5) ve B(4,−1)B(4, -1) noktaları oluşur, koşullara uygundur).
- a=−5a = -5 için (b−2)2=0  ⟹  b=2(b-2)^2 = 0 \implies b = 2 olur fakat b>4b > 4 şartı sağlanmaz.
5
AA noktasının koordinatları toplamını hesaplama
Koordinat toplamlarının alabileceği farklı değerlerin toplamı 3+1=43 + 1 = 4 olarak hesaplanır.
A(−3,6)A(-3, 6) noktası için koordinatlar toplamı −3+6=3-3 + 6 = 3 olur. A(−4,5)A(-4, 5) noktası için koordinatlar toplamı −4+5=1-4 + 5 = 1 olur. Bu iki değerin toplamı 3+1=43 + 1 = 4'tür.

Key Concept

İki nokta arasındaki uzaklık, orta nokta koordinatları ve bölgelere göre koordinat işaretlerinin belirlenmesi.
Rate this question

Topics

Noktanın Analitik İncelenmesi

More questions from this topic