Examkin

Question

Difficulty: HardNoktanın Analitik İncelenmesi

Analitik düzlemde A(1,2)A(1, 2) ve B(7,10)B(7, 10) noktaları veriliyor. Koordinatları tam sayılar olan bir C(x,y)C(x, y) noktası için AC⊥BCAC \perp BC ko��ulu sağlandığına göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı CC noktası vardır?

  1. A
    6
  2. B
    8
  3. 10Answer
  4. D
    12
  5. E
    4

Answer

Koşulları sağlayan 10 farklı C noktası vardır.
Verilen iki nokta arasındaki orta nokta çemberin merkezini, uzaklığın yarısı ise yarıçapını verir. Çember denklemini sağlayan 12 tam sayı ikilisinden, başlangıçta verilen iki nokta (A ve B) çıkartıldığında aranan koşulları sağlayan 10 farklı nokta elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
[AB] doğru parçasının orta noktasını ve uzunluğunu hesaplayalım.
Orta nokta M(4,6)M(4, 6) ve çap uzunluğu ∣AB∣=10|AB| = 10 birim olarak bulunur. Buradan yarıçap R=5R = 5 birim elde edilir.
AC⊥BCAC \perp BC koşulu, C noktasının çapı [AB] olan çember üzerinde yer aldığını gösterir. Orta nokta çemberin merkezini, çapın yarısı ise yarıçapını verir.
2
Çemberin denklemini oluşturarak tam sayı koordinatlı çözümleri belirleyelim.
Çember denklemi (x−4)2+(y−6)2=25(x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 25 şeklindedir. Bu denklemde x−4x - 4 ve y−6y - 6 tam sayı olmalıdır. Karesel toplamları 25 olan tam sayı çiftleri (±5,0)(\pm 5, 0), (0,±5)(0, \pm 5), (±3,±4)(\pm 3, \pm 4) ve (±4,±3)(\pm 4, \pm 3) olmak üzere 12 tanedir.
Yarıçapı 5 birim olan çember üzerindeki tam sayı koordinatlı noktaları tespit etmek amacıyla karesel toplamı 25 olan tüm tam sayı ikilileri bulunur.
3
Bulunan noktalar için sınır koşullarını kontrol ederek nihai sayıyı bulalım.
Bulunan 12 nokta çiftinden (x,y)=(1,2)(x, y) = (1, 2) noktası A noktasına, (x,y)=(7,10)(x, y) = (7, 10) noktası ise B noktasına karşılık gelmektedir. C noktası bu noktalardan farklı olması gerektiğinden bu iki nokta elenir ve geriye 12−2=1012 - 2 = 10 nokta kalır.
AC⊥BCAC \perp BC ifadesinin ve dikliğin tanımlı olabilmesi için C noktasının A ve B noktalarıyla çakışmaması gerekir.

Key Concept

İki Nokta Arasındaki Uzaklık, Orta Nokta Koordinatları ve Çember Denklemi İlişkisi
Rate this question

Topics

Noktanın Analitik İncelenmesi

More questions from this topic