Examkin

Question

Difficulty: HardDikdörtgenler Prizması

Ayrıt uzunlukları santimetre cinsinden birer tam sayı olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir hediye kutusunun cisim köşegeninin uzunluğu 29 cm\sqrt{29}\text{ cm} dir.

Bu kutunun farklı üç yüzünün alanları toplamı 26 cm226\text{ cm}^2 olduğuna göre, kutunun hacmi kaç cm3\text{cm}^3 tür?

  1. A
    12
  2. B
    18
  3. 24Answer
  4. D
    30
  5. E
    36

Answer

Prizmanın hacmi 24 santimetreküptür.
Doğru seçenekteki 24 değeri, prizmanın ayrıt uzunluklarının 2 cm, 3 cm ve 4 cm olması durumunda elde edilir. Bu ayrıtlar için cisim köşegeni 22+32+42=29\sqrt{2^2+3^2+4^2}=\sqrt{29} cm ve farklı üç yüzünün alanları toplamı 2⋅3+3⋅4+2⋅4=262\cdot3 + 3\cdot4 + 2\cdot4 = 26 cm2\text{cm}^2 koşullarını sağlar. Dolayısıyla hacim 2⋅3⋅4=242 \cdot 3 \cdot 4 = 24 cm3\text{cm}^3 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Prizmanın ayrıt uzunluklarına aa, bb ve cc diyerek verilen cisim köşegeni uzunluğundan bir denklem elde edelim.
a2+b2+c2=29a^2 + b^2 + c^2 = 29 olur.
Dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeni formülü d=a2+b2+c2d = \sqrt{a^2+b^2+c^2} şeklindedir. Cisim köşegeni 29 cm\sqrt{29}\text{ cm} verildiğinden kareler toplamı 29'dur.
2
Prizmanın farklı üç yüzünün alanları toplamını veren denklemi yazalım.
ab+bc+ac=26ab + bc + ac = 26 olur.
Prizmanın farklı üç yüzün��n alanları sırasıyla abab, bcbc ve acac olup, bu alanların toplamı 26 cm226\text{ cm}^2 olarak verilmiştir.
3
Ayrıtların toplamını bulmak için (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ac) özdeşliğini kullanalım.
(a+b+c)2=29+2(26)=81  ⟹  a+b+c=9(a+b+c)^2 = 29 + 2(26) = 81 \implies a+b+c = 9 bulunur.
Ayrıtlar pozitif uzunluklar olduğundan toplamları pozitif bir değer olan 9 olmalıdır.
4
Toplamları 9, kareleri toplamı 29 ve ikişerli çarpımlarının toplamı 26 olan pozitif tam sayıları deneme yoluyla belirleyelim.
a=2a=2, b=3b=3 ve c=4c=4 değerleri tüm koşulları sağlar.
Ayrıtlar birer tam sayı olduğundan, bu denklemleri sağlayan tek pozitif tam sayı grubu {2,3,4}\{2, 3, 4\}'tür.
5
Belirlediğimiz ayrıt uzunluklarını çarparak prizmanın hacmini hesaplayalım.
V=2⋅3⋅4=24 cm3V = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\text{ cm}^3 bulunur.
Dikdörtgenler prizmasının hacmi, üç farklı ayrıtının çarpımına eşittir.

Key Concept

Dikdörtgenler prizmasında cisim köşegeni, yüzey alanları ve hacim ilişkileri
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Dikdörtgenler Prizması

More questions from this topic