Examkin

Question

Difficulty: HardSayı Problemleri

Bir elektrikli araç şarj istasyonunda AC, DC ve Ultra DC olmak üzere üç farklı tipte toplam 5050 adet şarj ünitesi bulunmaktadır. Bu ünitelerin her birinin bir saatte aktarabildiği elektrik enerjisi miktarları sırasıyla 1515 kWh, 3030 kWh ve 9090 kWh'tir.

İstasyondaki tüm üniteler tam kapasiteyle aynı anda çalıştırıldığında bir saatte aktarılan toplam elektrik enerjisi 19501950 kWh olmaktadır.

Bu istasyondaki Ultra DC şarj ünitelerinin sayısı AC şarj ünitelerinin sayısından fazla olduğuna göre, DC şarj ünitelerinin sayısı en az kaçtır?

  1. A
    20
  2. B
    25
  3. C
    30
  4. 35Answer
  5. E
    40

Answer

En küçük DC şarj ünitesi sayısı 35 olmalıdır.
Soruda verilen ünite sayısı ve toplam enerji denklemleri birleştirildiğinde x=4z−30x = 4z - 30 bağıntısı elde edilir. Ünite sayılarının pozitif tam sayı olması gerektiğinden ve Ultra DC ünitesi sayısının AC ünitesi sayısından fazla olması (z>xz > x) koşulundan yola çıkılarak zz değerinin yalnızca 88 veya 99 olabileceği görülür. Bu duruma bağlı olarak DC ünitesi sayısı sırasıyla 4040 veya 3535 değerlerini alabilir. Bizden en küçük değer istendiği için doğru yanıt 35 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
AC, DC ve Ultra DC şarj ünitelerinin sayılarını değişkenlerle ifade edip toplam ünite sayısı denklemini kurmak.
x+y+z=50x + y + z = 50
İstasyondaki toplam ünite sayısının 5050 olduğu verilmiştir.
2
Ünitelerin saatlik enerji tüketimlerine göre toplam enerji denklemini kurmak ve sadeleştirmek.
15x+30y+90z=195015x + 30y + 90z = 1950 denklemi 1515 ile sadeleştirildiğinde x+2y+6z=130x + 2y + 6z = 130 elde edilir.
Toplam enerji üretiminin 19501950 kWh olduğu bilgisi kullanılarak daha basit bir bağıntı elde edilir.
3
İlk denklemden yy değişkenini çekip ikinci denklemde yerine yazarak xx ile zz arasındaki ilişkiyi bulmak.
y=50−x−zy = 50 - x - z ifadesi yerine yazıldığında x=4z−30x = 4z - 30 elde edilir.
Değişken sayısını azaltarak sınır değerleri daha kolay analiz etmek amaçlanır.
4
Ünite sayılarının pozitif tam sayı olması ve Ultra DC sayısının AC sayısından fazla olmas�� (z>xz > x) koşullarını uygulamak.
x>0  ⟹  z≥8x > 0 \implies z \ge 8; y>0  ⟹  z≤15y > 0 \implies z \le 15 ve z>x  ⟹  z<10z > x \implies z < 10 sınırlarından 8≤z≤98 \le z \le 9 elde edilir.
Sorudaki tüm kısıtlamaları sağlayan geçerli zz tam sayı değerlerini belirlemek gerekir.
5
Olası zz değerleri için yy değerlerini hesaplayıp en küçük olanını belirlemek.
z=8z = 8 için y=40y = 40 ve z=9z = 9 için y=35y = 35 bulunur. En küçük değer 3535'tir.
DC şarj ünitesi sayısının alabileceği en küçük değeri bulmak hedeflenmiştir.

Key Concept

Üç bilinmeyenli doğrusal denklem sistemlerinde pozitif tam sayı kısıtları ve eşitsizlik analizi.

Hints

1
Öncelikle şarj ünitelerinin sayılarını değişkenlerle ifade ederek toplam ünite sayısı ve toplam enerji miktarı için iki ayrı denklem kurun.
2
Bulduğunuz denklemlerden yararlanarak değişken sayısını azaltın ve AC ile Ultra DC üniteleri arasında bir bağıntı oluşturun.
3
Ünite sayılarının pozitif tam sayı olması gerektiğini ve Ultra DC sayısının AC sayısından fazla olması koşulunu göz önünde bulundurarak Ultra DC sayısının alabileceği değerleri sınırlandırın.

Practice More

Benzer şekilde, üç farklı değişken içeren ve en büyük/en küçük değer kısıtlaması bulunan rasyonel katsayılı sayı problemleri çözerek bu konudaki denklem kurma becerilerinizi pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Değişkenler arasındaki doğrusal ilişkiyi belirledikten sonra, z>xz > x kısıtlamasını doğrudan z>4z−30z > 4z - 30 eşitsizliğine dönüştürerek z<10z < 10 sınırına hızlıca ulaşabilirsiniz. Ardından ünite sayılarının pozitifliği (y>0y > 0) koşulundan 5z<80  ⟹  z≤155z < 80 \implies z \le 15 ve x>0x > 0 koşulundan 4z>30  ⟹  z≥84z > 30 \implies z \ge 8 sınırlarını birleştirerek olası değerleri test edebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Sayı Problemleri

More questions from this topic