Examkin

Question

Difficulty: MediumNoktanın Analitik İncelenmesi

Analitik düzlemde, eksenlere eşit uzaklıkta bulunan ve P(3,6)P(3, 6) noktasına olan uzaklığı 55 birim olan tüm noktaların apsisleri toplamı kaçtır?

  1. A
    5
  2. B
    6
  3. 9Answer
  4. D
    12
  5. E
    18

Answer

Eksenlere eşit uzaklıktaki noktaların apsisleri toplamı 9'dur.
Eksenlere eşit uzaklıktaki noktalar ya y=xy = x ya da y=−xy = -x doğrusu üzerindedir. P(3,6)P(3, 6) noktasına olan uzaklıkları 5 birim olan noktalar için denklem kurulduğunda sadece y=xy = x doğrusu üzerindeki noktalardan reel çözümler elde edilir. Bu denklemin kökler toplamı bize bu noktaların apsisleri toplamını verir ve bu değer 9'dur.

Step-by-Step Solution

1
Eksenlere eşit uzaklıkta olan noktaların koordinat özelliklerini belirleme.
Eksenlere eşit uzaklıkta olan bir A(x,y)A(x, y) noktası için ∣x∣=∣y∣|x| = |y| bağıntısı geçerlidir. Bu durumda noktalar ya y=xy = x doğrusu üzerinde (yani (a,a)(a, a) biçiminde) ya da y=−xy = -x doğrusu üzerinde (yani (b,−b)(b, -b) biçiminde) bulunmalıdır.
Eksenlere uzaklık sıras��yla ∣y∣|y| ve ∣x∣|x| ile ifade edilir ve bu uzaklıklar birbirine eşit verilmiştir.
2
y=xy = x doğrusu üzerindeki (a,a)(a, a) noktalarının P(3,6)P(3, 6) noktasına olan uzaklık formülünü yazıp çözme.
İki nokta arasındaki uzaklık formülünden: (a−3)2+(a−6)2=5\sqrt{(a - 3)^2 + (a - 6)^2} = 5 yazılır. Her iki tarafın karesi alınarak (a−3)2+(a−6)2=25(a - 3)^2 + (a - 6)^2 = 25 elde edilir. Bu ifade açıldığında a2−6a+9+a2−12a+36=25  ⟹  2a2−18a+20=0a^2 - 6a + 9 + a^2 - 12a + 36 = 25 \implies 2a^2 - 18a + 20 = 0 bulunur. Denklem 2 ile sadeleştirildiğinde a2−9a+10=0a^2 - 9a + 10 = 0 elde edilir.
Noktanın P(3,6)P(3, 6) noktasına uzaklığının 5 birim olduğu bilgisi kullanılarak denklem kurulur.
3
a2−9a+10=0a^2 - 9a + 10 = 0 denkleminin köklerinin varlığını kontrol etme ve kökler toplamını bulma.
Diskriminant Δ=(−9)2−4⋅1⋅10=81−40=41>0\Delta = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 81 - 40 = 41 > 0 olduğundan iki farklı reel kök (yani iki farklı nokta) vardır. Kökler toplamı formülünden: a1+a2=−−91=9a_1 + a_2 = -\frac{-9}{1} = 9 bulunur. Bu noktaların apsisleri a1a_1 ve a2a_2 olduğundan apsisleri toplamı 9 olur.
İkinci dereceden denklemin köklerinin varlığı onaylandıktan sonra kökleri tek tek bulmadan toplamları doğrudan elde edilebilir.
4
y=−xy = -x doğrusu üzerindeki (b,−b)(b, -b) noktalarının durumunu inceleme.
Uzaklık formülünden: (b−3)2+(−b−6)2=5\sqrt{(b - 3)^2 + (-b - 6)^2} = 5 yazılır. Karesi alınarak (b−3)2+(b+6)2=25(b - 3)^2 + (b + 6)^2 = 25 elde edilir. İfade açıldığında b2−6b+9+b2+12b+36=25  ⟹  2b2+6b+20=0b^2 - 6b + 9 + b^2 + 12b + 36 = 25 \implies 2b^2 + 6b + 20 = 0 bulunur. Denklem 2 ile sadeleştirildiğinde b2+3b+10=0b^2 + 3b + 10 = 0 elde edilir. Bu denklemin diskriminantı Δ=32−4⋅1⋅10=9−40=−31<0\Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 9 - 40 = -31 < 0 olduğundan reel kökü yoktur. Dolayısıyla y=−xy = -x doğrusu üzerinde koşulu sağlayan bir nokta bulunmaz.
Olası t��m durumları incelemek adına ikinci doğru üzerindeki noktaların varlığı kontrol edilmelidir.
5
Tüm geçerli noktaların apsisler toplamını belirleme.
Koşulu sağlayan noktalar yalnızca y=xy = x doğrusu üzerinde olup bu noktaların apsisleri toplamı 9 olarak bulunur.
Sadece y=xy = x doğrusundan reel çözümler geldiği için toplam sonuç 9 olur.

Key Concept

Noktanın Analitik İncelenmesi ve İki Nokta Arasındaki Uzaklık

Hints

1
Eksenlere eşit uzaklıkta olan bir noktanın koordinatları (a,a)(a, a) veya (b,−b)(b, -b) biçimindedir.
2
İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak bu noktaların P(3,6)P(3, 6) noktasına olan uzaklıklarını 5'e eşitleyin.
3
Oluşan ikinci dereceden denklemlerin diskriminantlarını (Δ\Delta) kontrol ederek hangi doğrunun çemberle kesiştiğini belirleyin ve kökler toplamı formülünü uygulayın.

Practice More

Benzer bir mantıkla, eksenlere eşit uzaklıkta olan ve başka bir noktaya belirli bir uzaklıktaki noktaların oluşturduğu şeklin çevre veya alan özelliklerini inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Geometrik olarak, P(3,6)P(3, 6) merkezli ve 5 birim yarıçaplı çember ile y=xy = x ve y=−xy = -x doğrularının kesişim noktaları aranmaktadır. P(3,6)P(3, 6) noktasının y=−xy = -x doğrusuna olan uzaklığı ∣3+6∣12+12=92≈6.36\frac{|3 + 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{9}{\sqrt{2}} \approx 6.36 birimdir. Bu uzaklık yarıçap olan 5 birimden büyük olduğundan çember y=−xy = -x doğrusunu kesmez. P(3,6)P(3, 6) noktasının y=xy = x doğrusuna uzaklığı ise ∣3−6∣12+12=32≈2.12\frac{|3 - 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \approx 2.12 birimdir. Bu değer 5'ten küçük olduğu için çember y=xy = x doğrusunu iki farklı noktada keser. Bu noktaların apsisleri toplamı, PP noktasının y=xy=x doğrusu üzerindeki dik izdüşümünün koordinatlarının iki katına eşittir. İzdüşüm noktası H(4.5,4.5)H(4.5, 4.5) olduğundan apsisler toplamı 2×4.5=92 \times 4.5 = 9 olarak pratik şekilde bulunabilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Noktanın Analitik İncelenmesi

More questions from this topic