Examkin

Question

Difficulty: HardÇokgenler ve Genel Özellikleri

Bir düzgün dokuzgenin bir köşesinden çizilebilecek tüm köşegenler çizilerek bu dokuzgen 77 adet üçgensel bölgeye ayrılıyor. Buna göre, elde edilen bu üçgenlerden kaç tanesi ikizkenar üçgendir?

  1. A
    22
  2. 33Answer
  3. C
    44
  4. D
    55
  5. E
    77

Answer

Elde edilen üçgenlerden 33 tanesi ikizkenar üçgendir.
Çevrel çemberde köşe adımları eşit olan veya iç açıları eşit çıkan üçgenler ikizkenardır. Analiz edildiğinde A1A2A3A_1A_2A_3 (açıları 20∘,20∘,140∘20^\circ, 20^\circ, 140^\circ), A1A5A6A_1A_5A_6 (açıları 80∘,20∘,80∘80^\circ, 20^\circ, 80^\circ) ve A1A8A9A_1A_8A_9 (açıları 140∘,20∘,20∘140^\circ, 20^\circ, 20^\circ) üçgenlerinin her birinde ikişer açı eşit olduğundan bu üçgenler ikizkenardır. Dolayısıyla toplamda 33 tane ikizkenar üçgen vardır.

Step-by-Step Solution

1
Düzgün dokuzgenin bir köşesinden (örneğin A1A_1 köşesinden) çizilebilecek tüm köşegenleri belirlemek ve oluşan üçgenleri listelemek.
A1A_1 köşesinden diğer köşelere çizilen köşegenler yardımıyla dokuzgen 77 adet üçgene ayrılır. Bu üçgenler sırasıyla: A1A2A3A_1A_2A_3, A1A3A4A_1A_3A_4, A1A4A5A_1A_4A_5, A1A5A6A_1A_5A_6, A1A6A7A_1A_6A_7, A1A7A8A_1A_7A_8 ve A1A8A9A_1A_8A_9 şeklindedir.
Çokgenin köşegenlerinin oluşturduğu üçgensel bölgeleri sistematik olarak sınıflandırmak amacıyla bu adım uygulanır.
2
Düzgün dokuzgenin çevrel çemberi üzerindeki yay özelliklerini kullanarak üçgenlerin iç açılarını hesaplamak.
Düzgün dokuzgenin her bir kenarı çevrel çemberde 360∘9=40∘\frac{360^\circ}{9} = 40^\circ lik yayları görür. Çevre açı kuralına göre, bu yayları gören çevre açıların ölçüleri yay ölçüsünün yarısıdır (20∘20^\circ). Üçgenlerin kenarlarının çevrelediği yay sayılarına (adım sayılarına) göre iç açılar belirlenir.
Her bir üçgenin iç açılarını bularak ikizkenar olup olmadıklarını kontrol etmek amacıyla bu adım uygulanır.
3
Her bir üçgenin köşe noktaları arasındaki kenar adım sayılarını ve iç açılarını analiz etmek.
Her bir üçgenin köşe adımları toplamı 99 dur:
- T1(A1A2A3)T_1 (A_1A_2A_3) için adımlar 1,1,7  ⟹  1, 1, 7 \implies Açılar: 20∘,20∘,140∘20^\circ, 20^\circ, 140^\circ (İkizkenar).
- T2(A1A3A4)T_2 (A_1A_3A_4) için adımlar 2,1,6  ⟹  2, 1, 6 \implies Açılar: 40∘,20∘,120∘40^\circ, 20^\circ, 120^\circ (Çeşitkenar).
- T3(A1A4A5)T_3 (A_1A_4A_5) için adımlar 3,1,5  ⟹  3, 1, 5 \implies Açılar: 60∘,20∘,100∘60^\circ, 20^\circ, 100^\circ (Çeşitkenar).
- T4(A1A5A6)T_4 (A_1A_5A_6) için adımlar 4,1,4  ⟹  4, 1, 4 \implies Açılar: 80∘,20∘,80∘80^\circ, 20^\circ, 80^\circ (İkizkenar).
- T5(A1A6A7)T_5 (A_1A_6A_7) için adımlar 5,1,3  ⟹  5, 1, 3 \implies Açılar: 100∘,20∘,60∘100^\circ, 20^\circ, 60^\circ (Çeşitkenar).
- T6(A1A7A8)T_6 (A_1A_7A_8) için adımlar 6,1,2  ⟹  6, 1, 2 \implies Açılar: 120∘,20∘,40∘120^\circ, 20^\circ, 40^\circ (Çeşitkenar).
- T7(A1A8A9)T_7 (A_1A_8A_9) için adımlar 7,1,1  ⟹  7, 1, 1 \implies Açılar: 140∘,20∘,20∘140^\circ, 20^\circ, 20^\circ (İkizkenar).
Bir üçgenin ikizkenar olması için en az iki iç açısının (veya kenar adım sayısının) eşit olması gerektiğini doğrulamak amacıyla bu adım uygulanır.
4
İkizkenar olduğu tespit edilen üçgenleri saymak.
T1T_1, T4T_4 ve T7T_7 olmak üzere toplam 33 adet ikizkenar üçgen elde edilir.
Soruda istenen toplam ikizkenar üçgen sayısını bulmak amacıyla bu adım uygulanır.

Key Concept

Düzgün çokgenlerin açı ve köşegen özellikleri
Rate this question

Topics

Çokgenler ve Genel Özellikleri

More questions from this topic