Examkin

Çokgenler ve Genel Özellikleri

4 questions

Question 1Question →

İç açılarının ölçüleri toplamı 1080∘1080^\circ olan konveks bir çokgenin kenar sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Kenar sayısı 8 olan seçenek
Dışbükey bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı (n−2)×180∘(n-2) \times 180^\circ formülü ile hesaplanır. Soruda bu toplamın 1080∘1080^\circ olduğu belirtilmiştir. Dolayısıyla (n−2)×180=1080(n-2) \times 180 = 1080 denklemi kurulur. Her iki taraf 180'e bölündüğünde n−2=6n-2 = 6 eşitliği, buradan da n=8n = 8 elde edilir. Bu nedenle kenar sayısı 8 olan seçenek doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Çokgenlerin iç açılarının ölçüleri toplamı formülünü yazın.
İç açılar toplamı = (n−2)×180∘(n-2) \times 180^\circ (Burada nn çokgenin kenar sayısıdır.)
Çokgenin kenar sayısı ile iç aç��larının toplamı arasındaki ilişkiyi kurmak için.
2
Soruda verilen iç açılar toplamı değerini formülde yerine yazarak denklemi kurun.
(n−2)×180=1080(n-2) \times 180 = 1080
Kenar sayısını bulmaya yönelik cebirsel ifadeyi oluşturmak için.
3
Elde edilen denklemi çözerek çokgenin kenar sayısını bulun.
n−2=1080180⇒n−2=6⇒n=8n-2 = \frac{1080}{180} \Rightarrow n-2 = 6 \Rightarrow n = 8
Bilinmeyen kenar sayısı değerine ulaşmak için.

Key Concept

Kenar sayısı nn olan dışbükey (konveks) bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı (n−2)×180∘(n-2) \times 180^\circ formülü ile hesaplanır.
Estimated Time:45s
Question 2Question →

Bir dışbükey (konveks) çokgenin üç iç açısının ölçüleri 150∘150^\circ, 155∘155^\circ ve 160∘160^\circ dir. Bu çokgenin diğer tüm iç açılar��nın ölçüleri birbirine eşit ve 165∘165^\circ olduğuna göre, bu çokgenin kenar sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 22

Answer

Çokgenin kenar sayısı 22'dir.
Doğru olan 22 değeri, dış açılar toplamının 360∘360^\circ olmasından yararlanılarak bulunur. 3 köşenin dış açıları toplamı 75∘75^\circ olup, kalan n−3n-3 köşenin her birinin dış açısı 15∘15^\circ olduğundan (n−3)×15=285(n-3) \times 15 = 285 eşitliğinden n−3=19n-3 = 19 ve n=22n = 22 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Çokgenin dış açılarının toplamının her zaman 360∘360^\circ olduğu bilgisini kullanmak üzere, verilen iç açıların dış açılarını hesaplayalım.
Verilen iç açılar 150∘150^\circ, 155∘155^\circ ve 160∘160^\circ olduğuna göre bunlara ait dış açılar sırasıyla 180∘−150∘=30∘180^\circ - 150^\circ = 30^\circ, 180∘−155∘=25∘180^\circ - 155^\circ = 25^\circ ve 180∘−160∘=20∘180^\circ - 160^\circ = 20^\circ olur. Diğer eşit iç açılar 165∘165^\circ olduğuna göre, bunlara ait dış açılar 180∘−165∘=15∘180^\circ - 165^\circ = 15^\circ olur.
Çokgenlerin kenar sayısını bulmak için dış açılar toplamı formülünü kullanmak, iç açılar toplamı formülüne göre işlemleri oldukça kolaylaştırır.
2
Çokgenin kenar sayısına nn diyelim. Toplam nn tane köşe ve dolayısıyla nn tane dış açı vardır. 3 tanesini bildiğimize göre, kalan n−3n-3 tane dış açının her biri 15∘15^\circ olacaktır. Tüm dış açılar toplamını 360∘360^\circ'ye eşitleyelim.
30∘+25∘+20∘+(n−3)×15∘=360∘30^\circ + 25^\circ + 20^\circ + (n-3) \times 15^\circ = 360^\circ denklemini elde ederiz. Buradan 75∘+(n−3)×15∘=360∘75^\circ + (n-3) \times 15^\circ = 360^\circ olur.
Bir dışbükey çokgenin dış açılarının ölçüleri toplamı her zaman 360∘360^\circ'dir.
3
Elde edilen birinci dereceden denklemi çözerek nn değerini bulalım.
(n−3)×15=285  ⟹  n−3=19  ⟹  n=22(n-3) \times 15 = 285 \implies n-3 = 19 \implies n = 22 olarak bulunur.
Çokgenin kenar sayısını temsil eden nn değişkenini yalnız bırakarak sonuca ulaşırız.

Key Concept

Dışbükey çokgenlerin dış açılarının ölçüleri toplamı her zaman 360∘360^\circ olup, bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamı 180∘180^\circ'dir.

Alternative Method

Alternatif olarak, çokgenin iç açılar toplamı formülü (n−2)×180∘(n-2) \times 180^\circ kullanılarak denklem kurulabilir: (n−2)×180=150+155+160+(n−3)×165(n-2) \times 180 = 150 + 155 + 160 + (n-3) \times 165. Bu denklemi düzenlersek 180n−360=165n−30  ⟹  15n=330  ⟹  n=22180n - 360 = 165n - 30 \implies 15n = 330 \implies n = 22 elde edilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 3Question →

Bir konveks (dışbükey) çokgenin iç açılarının ölçüleri bir aritmetik dizi oluşturmaktadır. Bu çokgenin en küç��k iç açısının ölçüsü 120∘120^\circ ve ardışık açılar arasındaki ortak fark 5∘5^\circ olduğuna göre, bu çokgenin kenar sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Çokgenin kenar sayısı 9'dur.
Doğru cevap olan değer, çokgenin iç açılarının toplamı formülü ile aritmetik dizi toplamı eşitlendiğinde elde edilen n2−25n+144=0n^2 - 25n + 144 = 0 denkleminin çözülmesiyle bulunur. Bu denklemin kökleri 9 ve 16'dır. Ancak kenar sayısı 16 alındığında, çokgenin en büyük iç açısı 195∘195^\circ olmaktadır. Konveks bir çokgende hiçbir iç açı 180∘180^\circ veya daha büyük olamayacağından bu kök elenir. Kenar sayısı 9 olduğunda ise en büyük iç açı 160∘160^\circ olup konvekslik kuralına tamamen uymaktadır. Bu nedenle doğru cevap 9 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
Çokgenin iç açılar toplamı formülü ile aritmetik dizi toplam formülünü belirlemek.
Kenar sayısı nn olan bir konveks çokgenin iç açılarının toplamı Sn=(n−2)⋅180∘S_n = (n-2) \cdot 180^\circ formülüyle hesaplanır. Diğer taraftan, ilk terimi a1=120∘a_1 = 120^\circ ve ortak farkı d=5∘d = 5^\circ olan bir aritmetik dizinin ilk nn teriminin toplamı Sn=n2[2a1+(n−1)d]=n2[2⋅120+(n−1)⋅5]=n2[235+5n]S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] = \frac{n}{2} [2 \cdot 120 + (n-1) \cdot 5] = \frac{n}{2} [235 + 5n] şeklindedir.
Çokgenin kenar sayısı olan nn değerini bulmak için bu iki farklı yolla ifade edilen iç açılar toplamını birbirine eşitlemek gerekir.
2
Elde edilen ifadeleri birbirine eşitleyerek nn değişkenine bağlı ikinci dereceden denklemi kurmak ve sadeleştirmek.
(n−2)⋅180=n2(235+5n)  ⟹  360(n−2)=n(235+5n)  ⟹  360n−720=5n2+235n  ⟹  5n2−125n+720=0(n-2) \cdot 180 = \frac{n}{2} (235 + 5n) \implies 360(n-2) = n(235 + 5n) \implies 360n - 720 = 5n^2 + 235n \implies 5n^2 - 125n + 720 = 0 elde edilir. Denklemin her iki tarafı 5 ile bölündüğünde n2−25n+144=0n^2 - 25n + 144 = 0 sadeleşmiş denklemi bulunur.
Kenar sayısı adaylarını bulmak amacıyla denklemi çarpanlarına ayrılabilir hale getirmek.
3
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak olası nn değerlerini (kökleri) bulmak.
n2−25n+144=0  ⟹  (n−9)(n−16)=0n^2 - 25n + 144 = 0 \implies (n-9)(n-16) = 0 olur. Buradan denklemi sağlayan kökler n=9n = 9 veya n=16n = 16 olarak bulunur.
Çokgenin kenar sayısı olabilecek matematiksel kökleri tespit etmek.
4
Bulunan nn değerlerinin konveks çokgen tanımına uygunluğunu (tüm iç açıların 180∘180^\circ'den küçük olması şartını) denetlemek.
Çokgenin en büyük iç açısı son terim olan an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d ifadesiyle bulunur. n=16n = 16 için en büyük iç açı a16=120+(16−1)⋅5=120+75=195∘a_{16} = 120 + (16-1) \cdot 5 = 120 + 75 = 195^\circ olur. 195∘>180∘195^\circ > 180^\circ olduğundan bu durum çokgenin konveks (dışbükey) olması kuralını bozar. Dolayısıyla bu değer elenir. n=9n = 9 için en büyük iç açı a9=120+(9−1)⋅5=120+40=160∘a_9 = 120 + (9-1) \cdot 5 = 120 + 40 = 160^\circ olur. 160∘<180∘160^\circ < 180^\circ şartı sağlandığından çokgen konvekstir.
Geometrik olarak geçerli ve konvekslik kuralını ihlal etmeyen tek kenar sayısını belirlemek.

Key Concept

Çokgenlerin iç açılarının toplamı ve konvekslik özellikleri.

Hints

1
Çokgenin iç açılarının toplamı formülü olan (n−2)⋅180∘(n-2) \cdot 180^\circ ifadesini, ilk terimi 120∘120^\circ ve ortak farkı 5∘5^\circ olan aritmetik dizinin ilk nn teriminin toplamına eşitleyin.
2
Elde edeceğiniz ikinci dereceden denklemin iki farklı pozitif tamsayı kökü olacaktır. Bu kökleri bulduktan sonra doğrudan işaretlemek yerine konvekslik şartını kontrol edin.
3
Konveks bir çokgende tüm iç açılar 180∘180^\circ'den küçük olmalıdır. Bulduğunuz kökler için en büyük iç açıyı (an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d) hesaplayarak 180∘180^\circ'den küçük olup olmadığını test edin.

Practice More

İç açılarının ölçüleri ardışık tamsayılar olan veya benzer aritmetik dizisel artışlar gösteren konveks çokgen sorularında sınır şartlarının (açıların 180∘180^\circ'den küçük, dış açıların 0∘0^\circ'den büyük olması) nasıl uygulandığını pekiştiren diğer problemleri inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Çözümü kolaylaştırmak için dış açılardan yararlanabilirsiniz. Konveks bir çokgenin dış açılarının toplamı her zaman 360∘360^\circ'dir. En küçük iç açı 120∘120^\circ ise buna karşılık gelen en büyük dış açı 180∘−120∘=60∘180^\circ - 120^\circ = 60^\circ olur. İç açılar 5∘5^\circ artarak gittiği için dış açılar 5∘5^\circ azalarak gidecektir. Bu durumda dış açılar; ilk terimi 60∘60^\circ, ortak farkı −5∘-5^\circ olan bir aritmetik dizi oluşturur. Bu dizinin ilk nn teriminin toplamı Sn=n2[2⋅60+(n−1)(−5)]=360∘S_n = \frac{n}{2} [2 \cdot 60 + (n-1)(-5)] = 360^\circ eşitliğinden n2−25n+144=0n^2 - 25n + 144 = 0 denklemi ve buradan n=9n = 9 veya n=16n = 16 bulunur. Çokgenin dış açılarının pozitif olması gerektiğinden, n=16n = 16 için en son dış açının 60+15⋅(−5)=−15∘60 + 15 \cdot (-5) = -15^\circ (negatif) çıkması bu durumun geometrik açıdan imkansız olduğunu ve doğru cevabın doğrudan 9 olması gerektiğini hızlıca gösterir.
Estimated Time:3m 0s
Question 4Question →

Bir düzgün dokuzgenin bir köşesinden çizilebilecek tüm köşegenler çizilerek bu dokuzgen 77 adet üçgensel bölgeye ayrılıyor. Buna göre, elde edilen bu üçgenlerden kaç tanesi ikizkenar üçgendir?

Show answer & explanation

Answer: 33

Answer

Elde edilen üçgenlerden 33 tanesi ikizkenar üçgendir.
Çevrel çemberde köşe adımları eşit olan veya iç açıları eşit çıkan üçgenler ikizkenardır. Analiz edildiğinde A1A2A3A_1A_2A_3 (açıları 20∘,20∘,140∘20^\circ, 20^\circ, 140^\circ), A1A5A6A_1A_5A_6 (açıları 80∘,20∘,80∘80^\circ, 20^\circ, 80^\circ) ve A1A8A9A_1A_8A_9 (açıları 140∘,20∘,20∘140^\circ, 20^\circ, 20^\circ) üçgenlerinin her birinde ikişer açı eşit olduğundan bu üçgenler ikizkenardır. Dolayısıyla toplamda 33 tane ikizkenar üçgen vardır.

Step-by-Step Solution

1
Düzgün dokuzgenin bir köşesinden (örneğin A1A_1 köşesinden) çizilebilecek tüm köşegenleri belirlemek ve oluşan üçgenleri listelemek.
A1A_1 köşesinden diğer köşelere çizilen köşegenler yardımıyla dokuzgen 77 adet üçgene ayrılır. Bu üçgenler sırasıyla: A1A2A3A_1A_2A_3, A1A3A4A_1A_3A_4, A1A4A5A_1A_4A_5, A1A5A6A_1A_5A_6, A1A6A7A_1A_6A_7, A1A7A8A_1A_7A_8 ve A1A8A9A_1A_8A_9 şeklindedir.
Çokgenin köşegenlerinin oluşturduğu üçgensel bölgeleri sistematik olarak sınıflandırmak amacıyla bu adım uygulanır.
2
Düzgün dokuzgenin çevrel çemberi üzerindeki yay özelliklerini kullanarak üçgenlerin iç açılarını hesaplamak.
Düzgün dokuzgenin her bir kenarı çevrel çemberde 360∘9=40∘\frac{360^\circ}{9} = 40^\circ lik yayları görür. Çevre açı kuralına göre, bu yayları gören çevre açıların ölçüleri yay ölçüsünün yarısıdır (20∘20^\circ). Üçgenlerin kenarlarının çevrelediği yay sayılarına (adım sayılarına) göre iç açılar belirlenir.
Her bir üçgenin iç açılarını bularak ikizkenar olup olmadıklarını kontrol etmek amacıyla bu adım uygulanır.
3
Her bir üçgenin köşe noktaları arasındaki kenar adım sayılarını ve iç açılarını analiz etmek.
Her bir üçgenin köşe adımları toplamı 99 dur:
- T1(A1A2A3)T_1 (A_1A_2A_3) için adımlar 1,1,7  ⟹  1, 1, 7 \implies Açılar: 20∘,20∘,140∘20^\circ, 20^\circ, 140^\circ (İkizkenar).
- T2(A1A3A4)T_2 (A_1A_3A_4) için adımlar 2,1,6  ⟹  2, 1, 6 \implies Açılar: 40∘,20∘,120∘40^\circ, 20^\circ, 120^\circ (Çeşitkenar).
- T3(A1A4A5)T_3 (A_1A_4A_5) için adımlar 3,1,5  ⟹  3, 1, 5 \implies Açılar: 60∘,20∘,100∘60^\circ, 20^\circ, 100^\circ (Çeşitkenar).
- T4(A1A5A6)T_4 (A_1A_5A_6) için adımlar 4,1,4  ⟹  4, 1, 4 \implies Açılar: 80∘,20∘,80∘80^\circ, 20^\circ, 80^\circ (İkizkenar).
- T5(A1A6A7)T_5 (A_1A_6A_7) için adımlar 5,1,3  ⟹  5, 1, 3 \implies Açılar: 100∘,20∘,60∘100^\circ, 20^\circ, 60^\circ (Çeşitkenar).
- T6(A1A7A8)T_6 (A_1A_7A_8) için adımlar 6,1,2  ⟹  6, 1, 2 \implies Açılar: 120∘,20∘,40∘120^\circ, 20^\circ, 40^\circ (Çeşitkenar).
- T7(A1A8A9)T_7 (A_1A_8A_9) için adımlar 7,1,1  ⟹  7, 1, 1 \implies Açılar: 140∘,20∘,20∘140^\circ, 20^\circ, 20^\circ (İkizkenar).
Bir üçgenin ikizkenar olması için en az iki iç açısının (veya kenar adım sayısının) eşit olması gerektiğini doğrulamak amacıyla bu adım uygulanır.
4
İkizkenar olduğu tespit edilen üçgenleri saymak.
T1T_1, T4T_4 ve T7T_7 olmak üzere toplam 33 adet ikizkenar üçgen elde edilir.
Soruda istenen toplam ikizkenar üçgen sayısını bulmak amacıyla bu adım uygulanır.

Key Concept

Düzgün çokgenlerin açı ve köşegen özellikleri