Examkin

Question

Difficulty: Very hardSayı Problemleri

Bir depodaki rafta A, B ve C olmak üzere üç farklı türde kutu bulunmaktadır. Bu kutuların ağırlıkları ve sayılarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Her bir A kutusunun ağırlığı, her bir B kutusunun ağırlığının 22 katına, her bir C kutusunun ağırlığının ise 33 katına eşittir.
* Raftaki B kutularının sayısı, A kutularının sayısının yarısından 22 fazladır.
* Raftaki C kutularının sayısı, A kutularının sayısının 22 katından 55 eksiktir.
* Raftaki tüm kutuların toplam ağırlığı, raftaki B ve C kutularının toplam sayısı kadar A kutusunun toplam ağırlığına eşittir.

Buna göre, bu rafta bulunan toplam kutu sayısı kaçtır?

  1. A
    77
  2. B
    99
  3. 1111Answer
  4. D
    1414
  5. E
    1717

Answer

Toplam kutu sayısı 1111 olarak bulunur.
A, B ve C kutularının ağırlıkları sırasıyla 6x6x, 3x3x ve 2x2x olarak belirlendikten sonra, A kutusunun sayısı 2y2y seçilerek B kutusunun sayısı y+2y+2, C kutusunun sayısı ise 4y−54y-5 olarak yazılır. Toplam ağırlık olan x(23y−4)x(23y-4) ifadesi, B ve C kutularının toplam adedi olan 5y−35y-3 tane A kutusunun ağırlığına (6x(5y−3)6x(5y-3)) eşitlendiğinde y=2y = 2 bulunur. Buradan kutu sayıları sırasıyla 44, 44 ve 33 olarak elde edilir ve toplamları 1111 olur.

Step-by-Step Solution

1
Kutuların birer adetlerinin ağırlıklarını ortak bir değişken cinsinden ifade edelim.
A, B ve C kutularının ağırlıkları sırasıyla wA=6xw_A = 6x, wB=3xw_B = 3x ve wC=2xw_C = 2x olarak belirlenir.
A kutusunun ağırlığının, B'nin 22 katı ve C'nin 33 katı olduğu belirtilmiştir. En küçük ortak kat olan 66 katsayısı seçilerek kesirli sayılarla işlem yapılması önlenir.
2
Kutuların sayılarını belirlemek için A kutusunun sayısına bağlı bir değişken tanımlayalım.
A kutularının sayıs�� nA=2yn_A = 2y olsun. Bu durumda B kutularının sayısı nB=y+2n_B = y + 2 ve C kutularının sayısı nC=4y−5n_C = 4y - 5 olur.
B kutularının sayısı A'nın yarısından 22 fazla olduğu için, A kutularının sayısını çift (2y2y) seçerek kesirli ifadelerden kaçınırız. C kutularının sayısı ise 2⋅(2y)−5=4y−52 \cdot (2y) - 5 = 4y - 5 olarak yazılır.
3
Raftaki kutuların toplam ağırlığını (WW) hesaplayalım.
W=2y⋅(6x)+(y+2)⋅(3x)+(4y−5)⋅(2x)=x(23y−4)W = 2y \cdot (6x) + (y + 2) \cdot (3x) + (4y - 5) \cdot (2x) = x(23y - 4) bulunur.
Her bir kutu türünün sayısı ile o türe ait bir kutunun ağırlığı çarpılıp toplanarak toplam ağırlık elde edilir.
4
B ve C kutularının toplam sayısı kadar A kutusunun toplam ağırlığını (W′W') hesaplayalım.
nB+nC=(y+2)+(4y−5)=5y−3n_B + n_C = (y + 2) + (4y - 5) = 5y - 3 adet A kutusunun ağırlığı W′=(5y−3)⋅6x=x(30y−18)W' = (5y - 3) \cdot 6x = x(30y - 18) olur.
Soruda verilen eşitlik şartını uygulayabilmek için karşılaştırma ağırlığı oluşturulur.
5
Toplam ağırlıkları birbirine eşitleyerek yy değişkenini bulalım.
x(23y−4)=x(30y−18)  ⟹  23y−4=30y−18  ⟹  7y=14  ⟹  y=2x(23y - 4) = x(30y - 18) \implies 23y - 4 = 30y - 18 \implies 7y = 14 \implies y = 2 bulunur.
x>0x > 0 olduğu için sadeleştirilir ve birinci dereceden denklem çözülür.
6
Bulunan y=2y = 2 değerini yerine yazarak toplam kutu sayısını hesaplayalım.
nA=4n_A = 4, nB=4n_B = 4 ve nC=3n_C = 3 olup, toplam kutu sayısı 4+4+3=114 + 4 + 3 = 11 olarak bulunur.
Her bir kutu türünün sayısı ayrı ayrı bulunup toplanarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Sayı problemlerinde bilinmeyenleri doğru tanımlama, ortak değişken kullanma ve doğrusal denklem kurup çözme.

Alternative Method

Ağırlıklar arasındaki oranlardan yararlanarak, toplam ağırlık dengesini doğrudan birim kutu cinsinden kurmak da mümkündür. Örneğin A kutusunun ağırlığı 66 birim kabul edilirse, B kutusu 33 birim, C kutusu ise 22 birim olur. Toplam ağırlık 12y+3(y+2)+2(4y−5)=23y−412y + 3(y+2) + 2(4y-5) = 23y - 4 birimdir. B ve C kutularının toplam sayısı 5y−35y - 3 olup, bu sayıdaki A kutusunun ağırlığı 6(5y−3)=30y−186(5y-3) = 30y - 18 birimdir. Bu iki ifade eşitlendiğinde y=2y = 2 değeri doğrudan bulunur.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Sayı Problemleri

More questions from this topic