Examkin

Question

Difficulty: Very hardDoğrunun Eğimi

Analitik düzlemde, A(−4,3)A(-4, 3) noktasından çıkan bir ışık ışını, y=mxy = mx (m>0m > 0) doğrusu biçimindeki bir aynadan orijinde (O(0,0)O(0,0) noktasında) yansıyarak B(5,12)B(5, 12) noktasından geçmektedir.

Işığın yansıma kuralına göre; gelen ışın ile aynanın yüzeyi arasındaki açı, yansıyan ışın ile aynanın yüzeyi arasındaki açıya eşittir.

Buna göre, aynayı temsil eden doğrunun e��imi olan mm değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    113\frac{11}{3}
  2. B
    97\frac{9}{7}
  3. 311\frac{3}{11}Answer
  4. D
    3340\frac{33}{40}
  5. E
    15

Answer

Aynayı temsil eden doğrunun eğimi 311\frac{3}{11}'dir.
Gelen ve yansıyan ışınların doğrultuları ile ayna doğrusu arasındaki açıların eşitliği kullanılarak kurulan tanjant eşitliğinden elde edilen ikinci dereceden denklemin pozitif kökü 311\frac{3}{11} değeridir. Bu değer yansıma kurallarına tam olarak uymaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Gelen ve yansıyan ışınların doğrultularını temsil eden doğruların eğimlerini hesaplayın.
Gelen ışının doğrusu olan AOAO doğrusunun eğimi m1=3−0−4−0=−34m_1 = \frac{3 - 0}{-4 - 0} = -\frac{3}{4} ve yansıyan ışının doğrusu olan OBOB doğrusunun eğimi m2=12−05−0=125m_2 = \frac{12 - 0}{5 - 0} = \frac{12}{5} olarak bulunur.
Yansıma açılarının eşitliğini kurabilmek için öncelikle bu iki doğrunun eğim değerlerinin belirlenmesi gerekir.
2
Yansıma kuralına göre, ayna doğrusu ile gelen ve yansıyan ışın doğruları arasındaki açıların eşitliğini tanjant formülü ile yazın.
Ayna doğrusunun eğimi mm olmak üzere, ∣m−m11+m⋅m1∣=∣m2−m1+m⋅m2∣\left|\frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1}\right| = \left|\frac{m_2 - m}{1 + m \cdot m_2}\right| formülünden ∣m−(−3/4)1+m(−3/4)∣=∣12/5−m1+(12/5)m∣\left|\frac{m - (-3/4)}{1 + m(-3/4)}\right| = \left|\frac{12/5 - m}{1 + (12/5)m}\right| eşitliği elde edilir.
Yansıma kuralı gereği, gelen ve yansıyan ışınların ayna doğrusuyla yaptığı dar açılar birbirine eşittir.
3
Elde edilen mutlak değerli denklemi düzenleyin ve çözün.
Denklem düzenlendiğinde ∣4m+34−3m∣=∣12−5m5+12m∣\left|\frac{4m + 3}{4 - 3m}\right| = \left|\frac{12 - 5m}{5 + 12m}\right| haline gelir. İki tarafın aynı işaretli olduğu durum için (4m+3)(5+12m)=(12−5m)(4−3m)(4m + 3)(5 + 12m) = (12 - 5m)(4 - 3m) çarpımı yapılır. Buradan 33m2+112m−33=033m^2 + 112m - 33 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem (3m+11)(11m−3)=0(3m + 11)(11m - 3) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Aynanın eğimini veren olası mm değerlerini bulmak için ikinci dereceden denklemin kökleri hesaplanır.
4
Koşullara uygun olan eğim değerini belirleyin.
m>0m > 0 koşulunu sağlayan kök m=311m = \frac{3}{11} olarak bulunur. Diğer kök olan m=−113m = -\frac{11}{3} ise ayna doğrusuna dik olan normal doğrusunun eğimidir.
Fiziksel yansımayı gerçekleştiren ve soruda pozitif olduğu belirtilen tek ayna eğimi değeri budur.

Key Concept

İki doğru arasındaki açının tanjantı ve yansıma kuralının analitik geometriye uygulanması

Hints

1
Işığın yansıma kuralına göre, ayna doğrusu ile gelen ve yansıyan ışın doğruları arasındaki dar açılar birbirine eşittir.
2
İki doğrunun eğimleri mam_a ve mbm_b ise, aralarındaki açının tanjantı tan⁡θ=∣ma−mb1+ma⋅mb∣\tan \theta = \left|\frac{m_a - m_b}{1 + m_a \cdot m_b}\right| formülü ile hesaplanır. Aynanın eğimi mm olmak üzere bu formülü her iki ışın için uygulayıp birbirine eşitleyin.
3
AOAO doğrusunun eğimini m1=−34m_1 = -\frac{3}{4} ve OBOB doğrusunun eğimini m2=125m_2 = \frac{12}{5} olarak bulduktan sonra, ∣m−(−3/4)1+m(−3/4)∣=∣12/5−m1+(12/5)m∣\left|\frac{m - (-3/4)}{1 + m(-3/4)}\right| = \left|\frac{12/5 - m}{1 + (12/5)m}\right| denklemini m>0m > 0 için çözün.

Practice More

Benzer bir yansıma sorusunu ayna doğrusunun eksenleri kestiği noktalar bilindiğinde ayna denklemini oluşturarak çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Vektörel yöntem veya yansıma simetrisi kullanılabilir. A(−4,3)A(-4, 3) noktasının y=mxy = mx doğrusuna göre simetriği olan A′(x′,y′)A'(x', y') noktası, OBOB doğrusu üzerinde ve orijine göre BB ile zıt yönde (3. bölgede) olmalıdır. A′A' noktasının koordinatları mm cinsinden yazılıp OBOB doğrusunun denklemi olan 12x−5y=012x - 5y = 0 yerine konularak da mm değeri bulunabilir.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Doğrunun Eğimi

More questions from this topic