Examkin

Question

Difficulty: MediumNoktanın Analitik İncelenmesi

Dik koordinat düzleminde, A(k,3)A(k, 3) ve B(2,−1)B(2, -1) noktaları arasındaki uzaklık, AA noktasının yy-eksenine olan uzaklığının 22 katına eşittir. Buna göre, kk gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    44
  2. B
    55
  3. C
    43\frac{4}{3}
  4. −43-\frac{4}{3}Answer
  5. E
    −4-4

Answer

k gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı −43-\frac{4}{3}'tür.
Doğru cevap −43-\frac{4}{3} değeridir. A(k,3)A(k, 3) noktasının yy-eksenine olan uzaklığı ∣k∣|k| birimdir. A(k,3)A(k, 3) ile B(2,−1)B(2, -1) noktaları arasındaki uzaklık ise (k−2)2+16\sqrt{(k-2)^2 + 16} birimdir. Verilen koşula göre (k−2)2+16=2∣k∣\sqrt{(k-2)^2 + 16} = 2|k| eşitliği yazılır. Eşitliğin her iki tarafının karesi alındığında 3k2+4k−20=03k^2 + 4k - 20 = 0 denklemine ulaşılır. Bu denklemin kökler toplamı formülü (−ba-\frac{b}{a}) uygulandığında kk değerlerinin toplamı −43-\frac{4}{3} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
A noktasın��n y-eksenine olan uzaklığını ifade etme.
A(k,3)A(k, 3) noktasının yy-eksenine olan uzaklığı, apsisinin mutlak değerine eşittir: ∣k∣|k| birimdir.
Bir noktanın y-eksenine olan uzaklığı, o noktanın x koordinatının mutlak değeridir.
2
A ve B noktaları arasındaki uzaklığı formülize etme.
∣AB∣=(k−2)2+(3−(−1))2=(k−2)2+16|AB| = \sqrt{(k - 2)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{(k - 2)^2 + 16} birimdir.
İki nokta arasındaki uzaklık formülü d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} bağıntısı ile hesaplanır.
3
Verilen koşula göre denklem kurma ve çözme.
(k−2)2+16=2∣k∣\sqrt{(k - 2)^2 + 16} = 2|k| denklemi kurulur. Her iki tarafın karesi alındığında; (k−2)2+16=4k2  ⟹  k2−4k+20=4k2  ⟹  3k2+4k−20=0(k - 2)^2 + 16 = 4k^2 \implies k^2 - 4k + 20 = 4k^2 \implies 3k^2 + 4k - 20 = 0 ikinci derece denklemi elde edilir.
Uzaklığın, y-eksenine olan uzaklığın 2 katına eşit olduğu bilgisi kullanılmıştır.
4
İkinci derece denklemin kökler toplamını bulma.
3k2+4k−20=03k^2 + 4k - 20 = 0 denkleminin kökler toplamı −ba=−43-\frac{b}{a} = -\frac{4}{3} olarak hesaplanır. Çarpanlara ayırma yöntemiyle de kökler k1=−103k_1 = -\frac{10}{3} ve k2=2k_2 = 2 olarak bulunur ve toplamları −103+2=−43-\frac{10}{3} + 2 = -\frac{4}{3} elde edilir.
Soruda k sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı istenmektedir.

Key Concept

Analitik düzlemde bir noktanın eksenlere olan uzaklığı ve iki nokta arasındaki uzaklık formülü.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Noktanın Analitik İncelenmesi

More questions from this topic