Examkin

Question

Difficulty: MediumSayı Dizileri ve Örüntüler

Bir sayı örüntüsündeki elemanlar arasında sırasıyla a1,a2,a3,…,an,…a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots şeklinde bir ilişki bulunmaktadır. Örüntüde yer alan ardışık terimler, her n≥1n \geq 1 için şu kurala göre hesaplanmaktadır:

an+2=an+1+(−1)n⋅ana_{n+2} = a_{n+1} + (-1)^n \cdot a_n

Bu örüntüde başlangıç değerleri a1=4a_1 = 4 ve a2=6a_2 = 6 olarak belirlendiğine göre, örüntünün altıncı elemanı olan a6a_6 değeri kaçtır?

  1. A
    -2
  2. B
    6
  3. 14Answer
  4. D
    10
  5. E
    42

Answer

Örüntünün altıncı elemanı olan a6a_6 değeri 1414'tür.
Verilen örüntü kuralında nn değerleri sırasıyla yerine koyulduğunda, (−1)n(-1)^n ifadesi tek indisli adımlarda çıkarma, çift indisli adımlarda ise toplama yapılmasını gerektirir. Bu adımlar sırasıyla takip edildiğinde a3=2a_3 = 2, a4=8a_4 = 8, a5=6a_5 = 6 ve son olarak a6=14a_6 = 14 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
n=1n = 1 için a3a_3 terimini hesaplayalım.
a3=a2+(−1)1⋅a1=6−4=2a_3 = a_2 + (-1)^1 \cdot a_1 = 6 - 4 = 2
Bir sonraki terimi bulmak için tanımlanan kuralda n=1n=1 yazılır ve (−1)1=−1(-1)^1 = -1 olduğundan çıkarma işlemi uygulanır.
2
n=2n = 2 için a4a_4 terimini hesaplayalım.
a4=a3+(−1)2⋅a2=2+6=8a_4 = a_3 + (-1)^2 \cdot a_2 = 2 + 6 = 8
a4a_4 terimini elde etmek için kuralda n=2n=2 yazılır ve (−1)2=1(-1)^2 = 1 olduğundan toplama işlemi uygulanır.
3
n=3n = 3 için a5a_5 terimini hesaplayalım.
a5=a4+(−1)3⋅a3=8−2=6a_5 = a_4 + (-1)^3 \cdot a_3 = 8 - 2 = 6
a5a_5 terimini elde etmek için kuralda n=3n=3 yazılır ve (−1)3=−1(-1)^3 = -1 olduğundan çıkarma işlemi uygulanır.
4
n=4n = 4 için a6a_6 terimini hesaplayalım.
a6=a5+(−1)4⋅a4=6+8=14a_6 = a_5 + (-1)^4 \cdot a_4 = 6 + 8 = 14
a6a_6 terimini elde etmek için kuralda n=4n=4 yazılır ve (−1)4=1(-1)^4 = 1 olduğundan toplama işlemi uygulanır.

Key Concept

İndirgemeli sayı örüntüleri ve pariteye bağlı terim hesabı
Rate this question

Topics

Sayı Dizileri ve Örüntüler

More questions from this topic