Examkin

Question

Difficulty: HardŞekil ve Sayı Bağıntıları

Birbirine bağlı dört dairesel hücre ve merkezlerindeki kare hücreden oluşan düzeneklerde, hücrelerdeki sayılar arasında tüm düzenekler için geçerli olan bir bağıntı bulunmaktadır. Aşağıda bu düzeneklerden ikisinin hücrelerindeki sayılar verilmiştir:

1. Düzenek:
- Üst hücre: 88
- Alt hücre: 55
- Sol hücre: 44
- Sağ hücre: 66
- Merkez hücre: 3030

2. Düzenek:
- Üst hücre: 1212
- Alt hücre: 77
- Sol hücre: 55
- Sağ hücre: 33
- Merkez hücre: 4040

Buna göre, benzer biçimde oluşturulan üçüncü bir düzenekte üst hücrede xx, alt hücrede 44, sol hücrede 88, sağ hücrede yy ve merkez hücrede 7272 sayıları bulunmaktadır.

xx ve yy birer pozitif tam sayı olduğuna göre, x+yx + y toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

  1. A
    11
  2. 13Answer
  3. C
    14
  4. D
    17
  5. E
    18

Answer

En küçük toplam değeri 13'tür.
Düzenekteki kural ∣U¨st−Alt∣×(Sol+Sag˘)=Merkez|Üst - Alt| \times (Sol + Sağ) = Merkez şeklindedir. Üçüncü düzenekte bu kural uygulandığında ∣x−4∣×(8+y)=72|x - 4| \times (8 + y) = 72 denklemi kurulur. yy pozitif bir tam sayı olduğu için 8+y8 + y ifadesi 8'den büyük olmalı ve 72'yi tam bölmelidir. En küçük toplamı elde etmek adına 8+y=98 + y = 9 seçildiğinde y=1y = 1 olur. Buradan ∣x−4∣=8|x - 4| = 8 elde edilir. xx pozitif bir tam sayı olduğundan x=12x = 12 bulunur. Dolayısıyla x+y=12+1=13x + y = 12 + 1 = 13 elde edilen en küçük toplam değeridir.

Step-by-Step Solution

1
Düzeneklerdeki sayılar arasındaki bağıntıyı belirleme.
Üst ve alt hücrelerdeki sayıların farkının mutlak değeri ile sol ve sağ hücrelerdeki sayıların toplamının çarpımı merkez hücreyi vermektedir: ∣U¨st−Alt∣×(Sol+Sag˘)=Merkez|Üst - Alt| \times (Sol + Sağ) = Merkez. Birinci düzenek için: ∣8−5∣×(4+6)=3×10=30|8 - 5| \times (4 + 6) = 3 \times 10 = 30. İkinci düzenek için: ∣12−7∣×(5+3)=5×8=40|12 - 7| \times (5 + 3) = 5 \times 8 = 40 bağıntıyı doğrular.
Bilinmeyenlerin yer aldığı üçüncü düzenekte kullanılacak matematiksel modeli oluşturmak için.
2
Üçüncü düzenek için denklem kurma.
∣x−4∣×(8+y)=72|x - 4| \times (8 + y) = 72 denklemi elde edilir.
Belirlenen kuralı verilen değerlerle uygulamak için.
3
Pozitif tam sayı kısıtlamalarını analiz etme.
yy pozitif bir tam sayı (y≥1y \ge 1) olduğundan, 8+y≥98 + y \ge 9 olmalıdır. Dolayısıyla 8+y8 + y ifadesi, 72 sayısının 8'den büyük bir tam sayı böleni olmalıdır. Bu bölenler 9, 12, 18, 24, 36 ve 72 olabilir.
Değişkenlerin alabileceği değer kümelerini sınırlandırmak için.
4
Olası tüm durumları inceleyerek en küçük toplamı bulma.
- 8+y=9  ⟹  y=18 + y = 9 \implies y = 1 için ∣x−4∣=8  ⟹  x−4=8  ⟹  x=12|x - 4| = 8 \implies x - 4 = 8 \implies x = 12 (x−4=−8  ⟹  x=−4x - 4 = -8 \implies x = -4 pozitif tam sayı değildir). Bu durumda x+y=12+1=13x + y = 12 + 1 = 13 olur.
- 8+y=12  ⟹  y=48 + y = 12 \implies y = 4 için ∣x−4∣=6  ⟹  x=10  ⟹  x+y=14|x - 4| = 6 \implies x = 10 \implies x + y = 14 olur.
- 8+y=18  ⟹  y=108 + y = 18 \implies y = 10 için ∣x−4∣=4  ⟹  x=8  ⟹  x+y=18|x - 4| = 4 \implies x = 8 \implies x + y = 18 olur.
- 8+y=24  ⟹  y=168 + y = 24 \implies y = 16 için ∣x−4∣=3  ⟹  x=7|x - 4| = 3 \implies x = 7 veya x=1  ⟹  x+y=23x = 1 \implies x + y = 23 veya 1717 olur.
- Diğer büyük çarpanlar denendiğinde toplamın daha da büyüdüğü görülür. En küçük toplam 13 olarak bulunur.
Soruda istenen en küçük toplam değerini kesinleştirmek için.

Key Concept

Şekil ve Sayı Bağıntıları

Hints

1
Üst ve alt hücrelerdeki sayılar arasındaki farkı, sol ve sağ hücrelerdeki sayıların toplamıyla çarpmayı deneyin.
2
∣x−4∣×(8+y)=72|x - 4| \times (8 + y) = 72 denklemini sağlayan pozitif tam sayı çarpanlarını bulun. y≥1y \ge 1 olduğundan 8+y8 + y ifadesi en az 9 olmalıdır.
3
72'nin 8'den büyük en küçük çarpanı olan 9'u 8+y8 + y değerine eşitleyerek y=1y = 1 değerini bulun. Ardından mutlak değerli denklemi çözerek xx'i elde edin.

Practice More

Benzer bir düzenekte çarpım yerine bölme işlemi içeren veya merkezdeki sayının karesini hedefleyen şekil-sayı bağıntısı sorularını çözebilirsiniz.

Alternative Method

Denklem çözümü yerine 72'nin çarpan çiftleri yazılır: (1, 72), (2, 36), (3, 24), (4, 18), (6, 12), (8, 9). Bu çiftlerden büyük olanı 8+y8 + y ifadesine, küçük olanı ise ∣x−4∣|x - 4| ifadesine eşitlenir. Buradan tüm olası (x,y)(x, y) ikilileri hızlıca hesaplanarak toplamları karşılaştırılabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Şekil ve Sayı Bağıntıları

More questions from this topic