Examkin

Question

Difficulty: Very hardNoktanın Analitik İncelenmesi

Dik koordinat düzleminde, koordinatları tam sayılardan oluşan ve orijine uzaklığı 55 birim olan tüm noktaların oluşturduğu küme KK olarak tanımlanıyor.

KK kümesinden seçilen farklı AA ve BB noktalarının orta noktasının koordinatları da tam sayılardan oluşmaktadır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı {A,B}\{A, B\} noktalar çifti seçilebilir?

  1. A
    15
  2. B
    24
  3. 30Answer
  4. D
    36
  5. E
    66

Answer

30
Orijine uzaklığı 5 birim olan tam sayı koordinatlı noktalar koordinatlarının teklik-çiftlik durumuna göre (çift, tek) ve (tek, çift) olmak üzere altışar elemanlı iki gruba ayrılır. İki noktanın orta noktasının koordinatlarının tam sayı olabilmesi için her iki noktanın da aynı gruptan seçilmesi gerekir. Bu seçimlerin kombinasyonları hesaplandığında toplamda 30 farklı çift elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Orijine uzaklığı 55 birim olan tam sayı koordinatlı noktaları belirlemek.
x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 denklemini sağlayan tam sayı ikilileri bulunur. Eksenler üzerindeki (5,0)(5, 0), (−5,0)(-5, 0), (0,5)(0, 5), (0,−5)(0, -5) noktaları ile bölgelerde yer alan (±3,±4)(\pm 3, \pm 4) ve (±4,±3)(\pm 4, \pm 3) noktaları olmak üzere toplam 1212 nokta tespit edilir.
KK kümesinin tüm elemanlar��nı belirlemek.
2
İki noktanın orta noktasının tam sayı koordinatlı olma koşulunu analiz etmek.
A(x1,y1)A(x_1, y_1) ve B(x2,y2)B(x_2, y_2) noktalarının orta noktası olan M(x1+x22,y1+y22)M\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right) noktasının koordinatlarının tam sayı olması için x1+x2x_1+x_2 ve y1+y2y_1+y_2 toplamlarının çift sayı olması gerekir. Bu durum, x1x_1 ile x2x_2 koordinatlarının aynı teklik-çiftlik karakterine, y1y_1 ile y2y_2 koordinatlarının da aynı teklik-çiftlik karakterine sahip olmasını gerektirir.
Orta nokta formülünü kullanarak koordinatların paritesini (teklik-çiftlik durumunu) belirlemek.
3
Belirlenen 1212 noktayı teklik-çiftlik durumlarına göre sınıflandırmak.
x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 denkleminde her iki değişkenin karesinin toplamı tek sayı (2525) olduğundan, değişkenlerden biri çift diğeri tek olmalıdır. Dolayısıyla noktalar iki gruba ayrılır:
1. Grup (Apsisi çift, ordinatı tek olanlar): (0,5)(0, 5), (0,−5)(0, -5), (4,3)(4, 3), (4,−3)(4, -3), (−4,3)(-4, 3), (−4,−3)(-4, -3) olmak üzere 66 nokta vardır.
2. Grup (Apsisi tek, ordinatı çift olanlar): (5,0)(5, 0), (−5,0)(-5, 0), (3,4)(3, 4), (3,−4)(3, -4), (−3,4)(-3, 4), (−3,−4)(-3, -4) olmak üzere 66 nokta vardır.
Orta nokta koşuluna uygun seçim gruplarını oluşturmak.
4
Gruplardan ikili seçimler yaparak toplam geçerli çift sayısını bulmak.
Orta noktanın tam sayı olması için seçilen iki noktanın da aynı gruptan olması gerekir. Bu nedenle:
1. Gruptan 22 nokta seçimi: (62)=15\binom{6}{2} = 15 farklı şekilde yapılır.
2. Gruptan 22 nokta seçimi: (62)=15\binom{6}{2} = 15 farklı şekilde yapılır.
Toplam durum sayısı: 15+15=3015 + 15 = 30 olur.
Geçerli tüm nokta çiftlerinin sayısını hesaplamak.

Key Concept

Noktanın Analitik İncelenmesi, İki Noktanın Orta Noktası, İki Nokta Arasındaki Uzaklık
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Noktanın Analitik İncelenmesi

More questions from this topic