Bir kenar uzunluğu 12\text{ cm} olan ABCD karesinin içine, karenin tüm kenarlarına teğet o… — ALES

Bir kenar uzunluğu $12\text{ cm}$ olan $ABCD$ karesinin içine, karenin tüm kenarlarına teğet olacak şekilde bir çember çiziliyor. $[AD]$ kenarı üzerinde, $A$ köşesine olan uzaklığı $3\text{ cm}$ olan bir $P$ noktası belirleniyor. $P$ noktasından bu çembere çizilen diğer teğet doğrusu, $[AB]$ kenarını $Q$ noktasında kesiyor. Buna göre, $Q$ noktasının $A$ köşesine olan uzaklığı ( $|AQ|$ ) kaç $\text{cm}$ 'dir?

Answer: 4 cm

Answer

Q noktasının A köşesine olan uzaklığı 4 cm'dir.

Çemberin kareye teğet olma özelliklerinden yararlanarak

|PT| = 3\text{ cm}

|QT| = 6 - y

(burada

|AQ| = y

) bulunur.

APQ

dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulandığında

(9-y)^2 = 3^2 + y^2

denklemi elde edilir ve buradan

y = 4

bulunur.

Step-by-Step Solution

Çemberin yarıçapını ve kenarlardaki teğet noktalarını belirleme

Yarıçap

6\text{ cm}

olup

[AD]

[AB]

kenarlarındaki teğet noktaları

M

N

kenar orta noktalarıdır (

|AM| = |AN| = 6\text{ cm}

Çember kareye teğet olduğundan teğet noktaları kenarların tam ortasındadır.

P noktasından çizilen teğet uzunluğunu hesaplama

|PM| = 3\text{ cm}

ve dolayısıyla

|PT| = 3\text{ cm}

'dir.

Bir noktadan çembere çizilen teğet parçalarının uzunlukları eşittir (

|PT| = |PM|

Q noktasından çizilen teğet uzunluğunu ifade etme ve PQ uzunluğunu bulma

|AQ| = y

için

|QT| = 6 - y

|PQ| = 9 - y

olur.

Teğet parçalarının eşitliğinden

|QT| = |QN| = 6 - y

olur ve

PQ

uzunluğu bu iki teğet parçasının toplamıdır.

APQ dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayarak y değerini bulma

y = 4\text{ cm}

olarak bulunur.

A

köşesi dik açı olduğundan

APQ

dik üçgeninde

|PQ|^2 = |AP|^2 + |AQ|^2

bağıntısı geçerlidir.

Key Concept

Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet uzunluklarının eşitliği ve dik üçgende Pisagor teoreminin kare içerisinde uygulanması.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic