Kare Practice Questions — ALES

Question 1Question →

Bir $ABCD$ karesinin $[AC]$ köşegen doğrusu üzerinde, $C$ noktası $A$ ile $E$ arasında olacak şekilde bir $E$ noktası alınıyor.

$|CE| = 7\text{ cm}$ ve $|BE| = 13\text{ cm}$ olduğuna göre, $ABCD$ karesinin alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

Show answer & explanation

Answer: 50

Answer

ABCD karesinin alanı 50'dir.

Karenin köşegenlerinin birbirini dik ortalaması kuralına göre köşegenlerin kesim noktası olan O noktası için OB ile AC dik kesişir ve |OB| = |OC| = x olur. C noktası A ile E arasında olduğundan, O, C, E doğrusaldır ve |OE| = x + 7 olur. OBE dik üçgeninde uygulanan Pisagor bağıntısıyla x^2 + (x+7)^2 = 13^2 denkleminden x = 5 bulunur. Köşegenin yarısı 5 olan karenin alanı ise 2 * x^2 = 50 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Köşegenlerin kesim noktasını belirleme ve dikliği gösterme

AC

ve

BD

köşegenlerinin kesim noktasına

O

dersek,

OB \perp OE

olur.

Karede köşegenler birbirini dik keser.

2

Köşegen parçalarını harflendirme ve uzunlukları yazma

|OB| = |OC| = x

olsun. Bu durumda

|OE| = x + 7

olur.

Karede köşegenler birbirini ortalar ve tüm köşegen yarı parçaları eşittir.

3

Pisagor bağıntısını kurma ve denklemi çözme

x^2 + (x+7)^2 = 13^2 \implies x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169 \implies 2x^2 + 14x - 120 = 0 \implies x^2 + 7x - 60 = 0 \implies (x-5)(x+12) = 0

. Buradan

x = 5

bulunur.

Uzunluk değeri negatif olamayacağından

x = 5

alınır.

4

Karenin alanını hesaplama

Alan

(ABCD) = 2x^2 = 2 \times 5^2 = 50\text{ cm}^2

olur.

Köşegen uzunluğunun yarısı

x

olan bir karenin alanı

2x^2

formülüyle hesaplanır.

Key Concept

Karede köşegenlerin birbirini dik ortalaması ve dik üçgende Pisagor teoremi

Question 2Question →

Bir $ABCD$ karesinin iç bölgesinde alınan bir $P$ noktası için $|PA| = 1\text{ cm}$ , $|PB| = 5\text{ cm}$ ve $|PC| = 7\text{ cm}$ olduğu bilinmektedir. Buna göre, $ABCD$ karesinin alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

18

25

32

36

50

Show answer & explanation

Answer: 32

Answer

Karenin alanı 32 santimetrekaredir.

İngiliz Bayrağı Teoremi kullanılarak

P

noktasının

D

köşesine olan uzaklığı

|PD| = 5\text{ cm}

olarak bulunur.

|PB| = |PD| = 5\text{ cm}

eşitliği,

P

noktasının

[BD]

köşegeninin orta dikme doğrusu olan

[AC]

köşegeni üzerinde yer aldığını gösterir.

P

noktası karenin içinde olduğundan, köşegen uzunluğu

|AC| = |PA| + |PC| = 1 + 7 = 8\text{ cm}

olur. Buradan karenin alanı

\frac{8^2}{2} = 32\text{ cm}^2

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Kare içerisindeki bir

P

noktası için geçerli olan İngiliz Bayrağı Teoremi'ni (

PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2

) uygulayarak

P

noktasının

D

köşesine olan uzaklığını hesaplayın.

1^2 + 7^2 = 5^2 + |PD|^2 \implies 1 + 49 = 25 + |PD|^2 \implies 50 = 25 + |PD|^2 \implies |PD|^2 = 25 \implies |PD| = 5\text{ cm}

elde edilir.

Karenin içindeki herhangi bir noktanın karşılıklı köşelere olan uzaklıklarının kareleri toplamı eşittir.

2

|PB| = |PD| = 5\text{ cm}

eşitliğinden yararlanarak

P

noktasının karenin köşegenleri üzerindeki konumunu belirleyin.

P

noktası,

[BD]

doğru parçasının orta dikme doğrusu ��zerinde yer almalıdır. Karenin köşegenleri birbirini dik ortaladığı için bu orta dikme doğrusu

[AC]

köşegenidir. Dolayısıyla

P

noktası

[AC]

köşegeni üzerindedir.

Bir doğru parçasının uç noktalarına eşit uzaklıkta bulunan noktalar, o doğru parçasının orta dikme doğrusu üzerinde bulunur.

3

P

noktası karenin iç bölgesinde ve

[AC]

köşegeni üzerinde olduğundan,

A, P, C

noktalarının doğrusallığını kullanarak

[AC]

köşegeninin toplam uzunluğunu bulun.

|AC| = |PA| + |PC| = 1 + 7 = 8\text{ cm}

olarak bulunur.

P

noktası

[AC]

köşegeninin üzerinde ve karenin içinde yer aldığı için sırasıyla

A

,

P

ve

C

noktaları aynı doğru üzerindedir.

4

Köşegen uzunluğu bilinen karenin alan formülünü uygulayarak alanı hesaplayın.

\text{Alan}(ABCD) = \frac{|AC|^2}{2} = \frac{8^2}{2} = \frac{64}{2} = 32\text{ cm}^2

bulunur.

Bir karenin alanı, köşegen uzunluğunun karesinin yarısına eşittir.

Key Concept

Karede köşegenlerin birbirini dik ortalaması, köşegen uzunluğu ile alan ilişkisi ve karenin içindeki bir noktanın köşelere olan uzaklık bağıntıları.

Hints

1

Karenin içindeki bir noktanın karşılıklı köşelere olan uzaklıklarının kareleri toplamının eşit olduğunu hatırlayın (

PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2

).

2

|PB| = |PD| = 5\text{ cm}

eşitliğini bulduktan sonra, bir doğru parçasının uçlarına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerini düşünün. Bu durum

P

noktasının hangi özel çizgi üzerinde olduğunu söyler?

3

P

noktasının

[AC]

köşegeni üzerinde olduğunu gördükten sonra köşegen uzunluğunu

|AC| = |PA| + |PC|

şeklinde yazıp alanı köşegenin karesinin yarısı formülüyle bulun.

Practice More

Benzer bir mantığı kullanarak, kare içindeki bir noktanın köşelere olan uzaklıkları verildiğinde rotation (döndürme) yöntemiyle diğer açı veya uzunluk bağıntılarını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

\triangle APB

üçgenini

B

köşesi etrafında saat yönünde

90^\circ

döndürerek

[BC]

kenarı üzerinde yeni bir

\triangle CP'B

üçgeni oluşturabiliriz. Döndürme sonucunda

|BP'| = |BP| = 5\text{ cm}

,

|CP'| = |PA| = 1\text{ cm}

ve

m(\widehat{PBP'}) = 90^\circ

olur. İkizkenar dik üçgen olan

\triangle PBP'

üçgeninde

|PP'|^2 = 5^2 + 5^2 = 50

elde edilir.

\triangle PCP'

üçgeninde kenar uzunlukları

|CP'| = 1\text{ cm}

ve

|PC| = 7\text{ cm}

olup,

1^2 + 7^2 = 50 = |PP'|^2

sağlandığından Pisagor teoreminin tersi gereği

m(\widehat{PCP'}) = 90^\circ

olur. Döndürme özelliğinden dolayı

m(\widehat{BCP'}) = m(\widehat{BAP})

ve

m(\widehat{PCP'}) = m(\widehat{PCB}) + m(\widehat{BCP'}) = 90^\circ

olduğundan

m(\widehat{PCB}) = 45^\circ

bulunur.

\triangle BCP

üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanırsa karenin kenarı

s

için;

5^2 = s^2 + 7^2 - 2 \cdot s \cdot 7 \cdot \cos(45^\circ)

denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde karenin alanı

s^2 = 32\text{ cm}^2

veya

s^2 = 18\text{ cm}^2

bulunur.

s^2 = 18\text{ cm}^2

durumunda

P

noktası karenin dışında kalacağı için doğru cevap

32\text{ cm}^2

olur.

Estimated Time:3m 0s

Question 3Question →

Bir çemberin içine çizilen $ABCD$ karesinin bir kenar uzunluğu $20\text{ cm}$ 'dir. Bu çemberin, karenin dışında kalan dört dairesel bölgesinden birinin içine; iki köşesi çember yayı üzerinde, diğer iki köşesi ise karenin bir kenarı üzerinde olacak şekilde bir $KLMN$ karesi yerleştiriliyor. Buna göre, $KLMN$ karesinin alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

Küçük karenin alanı

16\text{ cm}^2

olarak bulunur.

Küçük karenin köşelerinin koordinatları analitik düzlemde ifade edilip çember denkleminde yerine yazıldığında, karenin kenar uzunluğu

4\text{ cm}

olarak elde edilir ve alanı

16\text{ cm}^2

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Karenin köşegenlerinin kesişim noktasını orijin

(0,0)

olarak seçip çemberin yarıçapını hesaplama.

ABCD

karesinin bir kenarı

20\text{ cm}

ise köşegen uzunluğu

20\sqrt{2}\text{ cm}

olur. Çember karenin köşelerinden geçtiği için yarıçapı

R = 10\sqrt{2}\text{ cm}

bulunur.

Çemberin denklemini oluşturabilmek için merkezini ve yarıçapını belirlememiz gerekir.

2

Çemberin denklemini yazma.

Merkezil çemberin denklemi

x^2 + y^2 = R^2 \implies x^2 + y^2 = 200

şeklindedir.

Çember üzerindeki noktaların koordinatları arasındaki ilişkiyi kurmak için çember denklemi gereklidir.

3

KLMN

karesinin köşelerinin koordinatlarını tanımlama.

Karenin üst kenarı

y = 10

doğrusu üzerindedir.

KLMN

karesinin kenar uzunluğuna

s

dersek,

y = 10

doğrusu üzerindeki köşeleri

N(-s/2, 10)

ve

M(s/2, 10)

, çember üzerindeki köşeleri ise

K(-s/2, 10+s)

ve

L(s/2, 10+s)

olur.

Geometrik şekli analitik düzleme aktararak cebirsel olarak çözebilmek için köşe koordinatlarını belirleriz.

4

L noktasını çember denkleminde yerine koyarak s değerini veren denklemi oluşturma.

\left(\frac{s}{2}\right)^2 + (10+s)^2 = 200 \implies \frac{s^2}{4} + 100 + 20s + s^2 = 200 \implies 5s^2 + 80s - 400 = 0 \implies s^2 + 16s - 80 = 0

elde edilir.

L noktası çember üzerinde olduğundan koordinatları çember denklemini sağlamak zorundadır.

5

İkinci derece denklemi çözerek kenar uzunluğunu ve alanı bulma.

(s+20)(s-4) = 0 \implies s = 4\text{ cm}

(

s > 0

olmalıdır). Buradan alan

s^2 = 4^2 = 16\text{ cm}^2

bulunur.

Karenin kenar uzunluğu negatif olamayacağı için pozitif kökü seçip alan formülünü uygularız.

Key Concept

Bir karenin köşegen özellikleri yardımıyla çevreleyen çemberin yarıçapını bulma ve çember denklemi kullanarak analitik çözüm yapma.

Question 4Question →

Bir $ABCD$ karesinin çevresi $40\text{ cm}$ 'dir. Bu karenin köşegenlerinin kesim noktasının, karenin herhangi bir kenarına olan en kısa uzaklığı kaç $\text{cm}$ 'dir?

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Karenin köşegenlerinin kesim noktasının herhangi bir kenarına olan en kısa uzaklığı

5\text{ cm}

'dir.

Çevresi

40\text{ cm}

olan bir karenin bir kenar uzunluğu

10\text{ cm}

'dir. Karenin köşegenlerinin kesim noktası ağırlık merkezidir ve bu noktanın kenarlara olan en kısa uzaklığı, kenar uzunluğunun yarısı olan

5\text{ cm}

'ye eşittir.

Step-by-Step Solution

1

Karenin bir kenar uzunluğunu hesaplayın.

Karenin bir kenar uzunluğu

10\text{ cm}

olarak bulunur.

Bir karenin tüm kenar uzunlukları eşittir ve çevre uzunluğu bir kenarının 4 katına eşittir (

a = \frac{\text{Çevre}}{4}

).

2

Köşegenlerin kesim noktasının kenarlara olan en kısa uzaklığını bulun.

En kısa uzaklık

5\text{ cm}

olarak hesaplanır.

Köşegenlerin kesim noktası karenin tam ortasındadır (ağırlık merkezi). Bu noktadan herhangi bir kenara çizilen en kısa doğru parçası kenara diktir ve uzunluğu kenar uzunluğunun yarısı kadardır (

d = \frac{a}{2}

).

Key Concept

Karenin çevre-kenar ilişkisi ve köşegen kesim noktasının (ağırlık merkezinin) kenarlara olan dik uzaklığı.

Question 5Question →

Bir $ABCD$ karesinin $[BD]$ köşegeni üzerinde bir $E$ noktası işaretleniyor.

$|DE| = 3\sqrt{2}\text{ cm}$ ve $|EB| = 5\sqrt{2}\text{ cm}$

olduğuna göre, $ABCD$ karesinin alanı kaç santimetrekaredir?

16

32

64

96

128

Show answer & explanation

Answer: 64

Answer

Karenin alanı 64 santimetrekaredir.

Köşegen uzunluğu

8\sqrt{2}\text{ cm}

olarak bulunan karenin bir kenar uzunluğu, köşegen uzunluğunun

\sqrt{2}

'ye bölünmesiyle

8\text{ cm}

bulunur. Kenar uzunluğu

8\text{ cm}

olan karenin alanı ise

8^2 = 64\text{ cm}^2

olur.

Step-by-Step Solution

1

Köşegen uzunluğunu hesaplayınız.

|BD| = 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\text{ cm}

[BD]

köşegeni, üzerindeki

E

noktası ile iki parçaya ayrılmıştır. Toplam köşegen uzunluğu bu iki parçanın uzunlukları toplamına eşittir.

2

Karenin bir kenar uzunluğunu bulunuz.

a = 8\text{ cm}

Bir kenar uzunluğu

a

olan bir karenin köşegen uzunluğu

a\sqrt{2}

'dir.

a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}

eşitliğinden karenin bir kenarı

a = 8\text{ cm}

olarak bulunur.

3

Karenin alanını hesaplayınız.

\text{Alan} = 8^2 = 64\text{ cm}^2

Karenin alanı, bir kenar uzunluğunun karesi alınarak hesaplanır.

Key Concept

Karede köşegen uzunluğu ile kenar uzunluğu arasındaki ilişki (

d = a\sqrt{2}

) ve karenin alanı (

A = a^2

).

Hints

1

Köşegen üzerindeki parçaların uzunluklarını toplayarak tüm köşegenin uzunluğunu elde edin.

2

Karenin bir kenar uzunluğu

a

ise köşegeninin

a\sqrt{2}

olduğunu hatırlayın.

3

Köşegen uzunluğu

8\sqrt{2}\text{ cm}

ise karenin bir kenarı

8\text{ cm}

'dir. Bu kenar uzunluğunun karesini alarak alana ulaşın.

Practice More

Köşegen uzunluğu verilen bir karenin çevresini bulmaya yönelik benzer alıştırmalar yapabilirsiniz.

Alternative Method

Karenin alanı, köşegen uzunluğunun karesinin yarısına eşittir:

\text{Alan} = \frac{d^2}{2}

. Köşegen uzunluğu

d = 8\sqrt{2}\text{ cm}

olduğundan,

\text{Alan} = \frac{(8\sqrt{2})^2}{2} = \frac{128}{2} = 64\text{ cm}^2

bulunur.

Estimated Time:45s

Question 6Question →

Bir kenar uzunluğu $12\text{ cm}$ olan $ABCD$ karesinin içine, karenin tüm kenarlarına teğet olacak şekilde bir çember çiziliyor. $[AD]$ kenarı üzerinde, $A$ köşesine olan uzaklığı $3\text{ cm}$ olan bir $P$ noktası belirleniyor. $P$ noktasından bu çembere çizilen diğer teğet doğrusu, $[AB]$ kenarını $Q$ noktasında kesiyor. Buna göre, $Q$ noktasının $A$ köşesine olan uzaklığı ( $|AQ|$ ) kaç $\text{cm}$ 'dir?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Q noktasının A köşesine olan uzaklığı 4 cm'dir.

Çemberin kareye teğet olma özelliklerinden yararlanarak

|PT| = 3\text{ cm}

ve

|QT| = 6 - y

(burada

|AQ| = y

) bulunur.

APQ

dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulandığında

(9-y)^2 = 3^2 + y^2

denklemi elde edilir ve buradan

y = 4

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Çemberin yarıçapını ve kenarlardaki teğet noktalarını belirleme

Yarıçap

6\text{ cm}

olup

[AD]

ve

[AB]

kenarlarındaki teğet noktaları

M

ve

N

kenar orta noktalarıdır (

|AM| = |AN| = 6\text{ cm}

).

Çember kareye teğet olduğundan teğet noktaları kenarların tam ortasındadır.

2

P noktasından çizilen teğet uzunluğunu hesaplama

|PM| = 3\text{ cm}

ve dolayısıyla

|PT| = 3\text{ cm}

'dir.

Bir noktadan çembere çizilen teğet parçalarının uzunlukları eşittir (

|PT| = |PM|

).

3

Q noktasından çizilen teğet uzunluğunu ifade etme ve PQ uzunluğunu bulma

|AQ| = y

için

|QT| = 6 - y

ve

|PQ| = 9 - y

olur.

Teğet parçalarının eşitliğinden

|QT| = |QN| = 6 - y

olur ve

PQ

uzunluğu bu iki teğet parçasının toplamıdır.

4

APQ dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayarak y değerini bulma

y = 4\text{ cm}

olarak bulunur.

A

köşesi dik açı olduğundan

APQ

dik üçgeninde

|PQ|^2 = |AP|^2 + |AQ|^2

bağıntısı geçerlidir.

Key Concept

Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet uzunluklarının eşitliği ve dik üçgende Pisagor teoreminin kare içerisinde uygulanması.

Kare

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes