Examkin

Question

Difficulty: Very hardSayı Dizileri ve Örüntüler
Bir (xn)(x_n) dizisinde başlangıç terimleri x1=2x_1 = 2 ve x2=3x_2 = 3 olarak verilmiştir. Bu dizinin sonraki her bir terimi, kendisinden önceki iki terim kullanılarak
xn=S(xn−12+xn−2)(n≥3)x_n = S(x_{n-1}^2 + x_{n-2}) \quad (n \geq 3)
biçiminde tanımlanmaktadır. Burada S(a)S(a) sembolü, aa doğal sayısının rakamları toplamını temsil etmektedir.
Buna göre, bu dizinin 2026. terimi olan x2026x_{2026} değeri aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    6
  2. B
    10
  3. C
    11
  4. 12Answer
  5. E
    7

Answer

Dizinin 2026. terimi olan 12 sayısı doğru cevaptır.
Dizinin terimleri yazıldığında, başlangıçtaki geçiş terimlerinin ardından 5. terimden itibaren her 8 adımda bir tekrarlanan {6,7,10,8,11,12,11,7}\{6, 7, 10, 8, 11, 12, 11, 7\} döngüsü gözlemlenir. İndis analizi yapıldığında 2026. terim, bu döngüdeki 12 değerine tam olarak karşılık gelmektedir.

Step-by-Step Solution

1
Dizinin ilk birkaç terimini verilen kurala göre hesaplayalım.
x3=S(32+2)=S(11)=2x_3 = S(3^2 + 2) = S(11) = 2
x4=S(22+3)=S(7)=7x_4 = S(2^2 + 3) = S(7) = 7
x5=S(72+2)=S(51)=6x_5 = S(7^2 + 2) = S(51) = 6
x6=S(62+7)=S(43)=7x_6 = S(6^2 + 7) = S(43) = 7
x7=S(72+6)=S(55)=10x_7 = S(7^2 + 6) = S(55) = 10
x8=S(102+7)=S(107)=8x_8 = S(10^2 + 7) = S(107) = 8
x9=S(82+10)=S(74)=11x_9 = S(8^2 + 10) = S(74) = 11
x10=S(112+8)=S(129)=12x_{10} = S(11^2 + 8) = S(129) = 12
x11=S(122+11)=S(155)=11x_{11} = S(12^2 + 11) = S(155) = 11
x12=S(112+12)=S(133)=7x_{12} = S(11^2 + 12) = S(133) = 7
x13=S(72+11)=S(60)=6x_{13} = S(7^2 + 11) = S(60) = 6
x14=S(62+7)=S(43)=7x_{14} = S(6^2 + 7) = S(43) = 7
Dizinin ilerleyen adımlarında bir örüntü veya periyodik tekrar oluşup oluşmadığını kontrol etmek.
2
Terimler arasındaki tekrarlama döngüsünü (periyodu) belirleyelim.
x5=6x_5 = 6 ve x6=7x_6 = 7 iken, x13=6x_{13} = 6 ve x14=7x_{14} = 7 olarak aynı ardışık ikilinin elde edildiği görülür. Dizi tanımı gereği her terim kendinden önceki iki terime bağlı olduğundan, dizi x5x_5 teriminden itibaren kendini periyodik olarak tekrar etmeye ba��lar. Bu döngünün uzunluğu 13−5=813 - 5 = 8 terimdir.
Sonsuz terimi tek tek hesaplamak yerine periyodiklik kuralı sayesinde büyük terimleri hızlıca bulabilmek.
3
Döngüyü oluşturan 8 terimlik periyodik grubu listeleyelim.
Tekrar eden grup: {6,7,10,8,11,12,11,7}\{6, 7, 10, 8, 11, 12, 11, 7\} şeklindedir.
Buna göre, her k≥0k \geq 0 tam sayısı için:
x5+8k=6x_{5+8k} = 6, x6+8k=7x_{6+8k} = 7, x7+8k=10x_{7+8k} = 10, x8+8k=8x_{8+8k} = 8, x9+8k=11x_{9+8k} = 11, x10+8k=12x_{10+8k} = 12, x11+8k=11x_{11+8k} = 11, x12+8k=7x_{12+8k} = 7 eşitlikleri yazılabilir.
Genel terimlerin hangi indis formüllerine karşılık geldiğini netleştirmek.
4
2026. terim (n=2026n = 2026) için periyottaki karşılığını hesaplayalım.
n≥5n \geq 5 için n=5+8k+rn = 5 + 8k + r biçiminde ifade edilirse, 2026−5=20212026 - 5 = 2021 elde edilir.
20212021 sayısı 88'e bölündüğünde: 2021=8×252+52021 = 8 \times 252 + 5 olur ve kalan r=5r = 5 bulunur.
Bu durumda x2026=x10=12x_{2026} = x_{10} = 12 olarak hesaplanır.
Bölme işlemiyle 2026 indisinin periyodun kaçıncı elemanına denk düştüğünü saptamak.

Key Concept

İkinci dereceden indirgemeli sayı dizilerinde periyot belirleme ve modüler aritmetik yardımıyla büyük indisli terimleri bulma.
Rate this question

Topics

Sayı Dizileri ve Örüntüler

More questions from this topic