Examkin

Question

Difficulty: Very hardKatı Cisimler

Taban yarıçapı 6 cm6\text{ cm} ve yüksekliği 12 cm12\text{ cm} olan dik dairesel koni biçimindeki boş bir kabın içerisine, tabanı koninin tabanıyla çakışacak biçimde üstü açık dik dairesel silindir şeklinde bir boru yerleştirilmiştir. Bu borunun üst dairesinin kenarı koninin yan yüzeyine tamamen değmektedir.

Koninin üst kısmından su döküldüğünde, su koni ile silindir arasında kalan boşluğu tamamen doldurup silindirin üst hizasına ulaştığı anda silindirin içerisine de akmaya başlamaktadır.

Koniye d��külen toplam su hacmi koninin hacminin yarısı olduğuna göre, silindirin yüksekliği kaç cm\text{cm}'dir?

  1. A
    4
  2. 6Answer
  3. C
    8
  4. D
    9
  5. E
    10

Answer

Silindirin yüksekliği 6 cm olmalıdır.
Silindirin yüksekliği 6 cm olduğunda, benzerlikten silindirin yarıçapı 3 cm olarak hesaplanır. Bu durumda silindirin üst hizasına kadar dolan suyun hacmi, yüksekliği 6 cm olan kesik koninin hacminden silindirin hacmi çıkarılarak 72π cm³ bulunur. Bu hacim, koninin toplam hacminin (144π cm³) tam yarısına eşit olduğundan koşul sağlanır.

Step-by-Step Solution

1
Koninin toplam hacmini hesaplama
Vkoni=13πR2H=13π⋅62⋅12=144π cm3V_{\text{koni}} = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 12 = 144\pi \text{ cm}^3
Kaptaki suyun hacmini bulabilmek için öncelikle kabı oluşturan ana geometrik cismin toplam hacmini hesaplamamız gerekir.
2
Dökülen suyun hacmini belirleme
Vsu=144π2=72π cm3V_{\text{su}} = \frac{144\pi}{2} = 72\pi \text{ cm}^3
Soruda dökülen suyun hacminin, koninin toplam hacminin yarısı olduğu ifade edilmiştir.
3
Silindirin yarıçapı ile yüksekliği arasındaki benzerlik ilişkisini kurma
12−h12=r6  ⟹  r=6−h2\frac{12-h}{12} = \frac{r}{6} \implies r = 6 - \frac{h}{2}
Silindirin üst dairesinin kenarı koninin yan yüzeyine değdiğinden, koninin tepe noktasından silindirin üst tabanına kadar olan küçük koni ile büyük koni arasında benzerlik kurulur.
4
Su hacmini veren denklemi kurma
Vsu=Vkesik koni−Vsilindir=144π−13πr2(12−h)−πr2h=144π−πr2(4+23h)=72π  ⟹  r2(4+23h)=72V_{\text{su}} = V_{\text{kesik koni}} - V_{\text{silindir}} = 144\pi - \frac{1}{3}\pi r^2(12-h) - \pi r^2 h = 144\pi - \pi r^2 \left(4 + \frac{2}{3}h\right) = 72\pi \implies r^2 \left(4 + \frac{2}{3}h\right) = 72
Silindirin üst hizasına kadar olan suyun hacmi, yüksekliği hh olan kesik koni hacminden silindirin hacminin çıkarılması ile bulunur.
5
Yarıçap ifadesini denklemde yerine yazıp yüksekliği (hh) çözme
(6−h2)2(4+23h)=72  ⟹  (12−h)2(6+h)=432\left(6 - \frac{h}{2}\right)^2 \left(4 + \frac{2}{3}h\right) = 72 \implies (12-h)^2 (6+h) = 432 denklemini sağlayan pozitif değer h=6 cmh = 6 \text{ cm} olarak bulunur.
h=6h = 6 değeri için (12−6)2(6+6)=36⋅12=432(12-6)^2 (6+6) = 36 \cdot 12 = 432 eşitliği sağlanır.

Key Concept

Katı cisimlerde benzerlik, kesik piramit/koni hacmi ve silindir hacmi ilişkileri
Rate this question

Topics

Katı Cisimler

More questions from this topic