Katı Cisimler Practice Questions — ALES

Question 1Question →

Taban yarıçapı $6\text{ cm}$ ve yüksekliği $12\text{ cm}$ olan dik dairesel koni biçimindeki boş bir kabın içerisine, tabanı koninin tabanıyla çakışacak biçimde üstü açık dik dairesel silindir şeklinde bir boru yerleştirilmiştir. Bu borunun üst dairesinin kenarı koninin yan yüzeyine tamamen değmektedir.

Koninin üst kısmından su döküldüğünde, su koni ile silindir arasında kalan boşluğu tamamen doldurup silindirin üst hizasına ulaştığı anda silindirin içerisine de akmaya başlamaktadır.

Koniye d��külen toplam su hacmi koninin hacminin yarısı olduğuna göre, silindirin yüksekliği kaç $\text{cm}$ 'dir?

4

6

8

9

10

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Silindirin yüksekliği 6 cm olmalıdır.

Silindirin yüksekliği 6 cm olduğunda, benzerlikten silindirin yarıçapı 3 cm olarak hesaplanır. Bu durumda silindirin üst hizasına kadar dolan suyun hacmi, yüksekliği 6 cm olan kesik koninin hacminden silindirin hacmi çıkarılarak 72π cm³ bulunur. Bu hacim, koninin toplam hacminin (144π cm³) tam yarısına eşit olduğundan koşul sağlanır.

Step-by-Step Solution

1

Koninin toplam hacmini hesaplama

V_{\text{koni}} = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 12 = 144\pi \text{ cm}^3

Kaptaki suyun hacmini bulabilmek için öncelikle kabı oluşturan ana geometrik cismin toplam hacmini hesaplamamız gerekir.

2

Dökülen suyun hacmini belirleme

V_{\text{su}} = \frac{144\pi}{2} = 72\pi \text{ cm}^3

Soruda dökülen suyun hacminin, koninin toplam hacminin yarısı olduğu ifade edilmiştir.

3

Silindirin yarıçapı ile yüksekliği arasındaki benzerlik ilişkisini kurma

\frac{12-h}{12} = \frac{r}{6} \implies r = 6 - \frac{h}{2}

Silindirin üst dairesinin kenarı koninin yan yüzeyine değdiğinden, koninin tepe noktasından silindirin üst tabanına kadar olan küçük koni ile büyük koni arasında benzerlik kurulur.

4

Su hacmini veren denklemi kurma

V_{\text{su}} = V_{\text{kesik koni}} - V_{\text{silindir}} = 144\pi - \frac{1}{3}\pi r^2(12-h) - \pi r^2 h = 144\pi - \pi r^2 \left(4 + \frac{2}{3}h\right) = 72\pi \implies r^2 \left(4 + \frac{2}{3}h\right) = 72

Silindirin üst hizasına kadar olan suyun hacmi, yüksekliği

h

olan kesik koni hacminden silindirin hacminin çıkarılması ile bulunur.

5

Yarıçap ifadesini denklemde yerine yazıp yüksekliği (

h

) çözme

\left(6 - \frac{h}{2}\right)^2 \left(4 + \frac{2}{3}h\right) = 72 \implies (12-h)^2 (6+h) = 432

denklemini sağlayan pozitif değer

h = 6 \text{ cm}

olarak bulunur.

h = 6

değeri için

(12-6)^2 (6+6) = 36 \cdot 12 = 432

eşitliği sağlanır.

Key Concept

Katı cisimlerde benzerlik, kesik piramit/koni hacmi ve silindir hacmi ilişkileri

Question 2Question →

Tepe noktası aşağıda olacak şekilde konumlandırılmış, taban yarıçapı $10\text{ cm}$ ve yüksekliği $15\text{ cm}$ olan dik dairesel koni biçimindeki bir kap tamamen suyla doludur. Bu kaptaki suyun bir kısmı, taban yarıçapı $7\text{ cm}$ olan yeterince yüksek boş bir dik dairesel silindirin içine boşaltılıyor. Son durumda koni biçimindeki kapta kalan suyun yüksekliği $9\text{ cm}$ olduğuna göre, silindir kapta biriken suyun yüksekliği kaç $\text{ cm}$ 'dir?

24

12

8

2

28

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Silindir kapta biriken suyun yüksekliği 8 cm'dir.

Doğru cevap olan 8 değeri, koninin toplam hacminin ve benzerlik oranı yardımıyla içinde kalan suyun hacminin doğru hesaplanıp, dökülen su hacminin silindirin hacim formülüne eşitlenmesiyle elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Koninin toplam hacmini hesaplayalım.

V_{toplam} = \frac{1}{3} \pi \cdot 10^2 \cdot 15 = 500\pi\text{ cm}^3

Başlangıçtaki toplam su miktarını bulmak için koninin hacim formülünü uyguluyoruz.

2

Koni içinde kalan suyun hacmini benzerlik oranı kullanarak hesaplayalım.

V_{kalan} = \left(\frac{9}{15}\right)^3 \cdot 500\pi = \left(\frac{3}{5}\right)^3 \cdot 500\pi = \frac{27}{125} \cdot 500\pi = 108\pi\text{ cm}^3

Kalan su da tepe noktası aşağıda olan benzer bir koni oluşturur. Hacimler oranı, benzerlik oranının (yükseklikler oranının) küpüne eşittir.

3

Silindire aktarılan dökülen suyun hacmini bulalım.

V_{dökülen} = V_{toplam} - V_{kalan} = 500\pi - 108\pi = 392\pi\text{ cm}^3

Toplam su hacminden kapta kalan su hacmini çıkararak silindire boşaltılan suyun hacmini buluruz.

4

Silindirdeki suyun yüksekliğini (

h

) hesaplayalım.

V_{silindir} = \pi \cdot r^2 \cdot h \Rightarrow 392\pi = \pi \cdot 7^2 \cdot h \Rightarrow 49 \cdot h = 392 \Rightarrow h = 8\text{ cm}

Dökülen su hacmini silindirin hacim formülüne eşitleyerek suyun yükselme miktarını buluruz.

Key Concept

Katı Cisimlerin Hacim İlişkileri ve Benzerlik Oranı

Estimated Time:2m 0s

Question 3Question →

Taban yarıçapı $4\text{ cm}$ ve yüksekliği $10\text{ cm}$ olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kap tamamen suyla doludur. Bu suyun tamamı, taban ayrıtları $5\text{ cm}$ ve $8\text{ cm}$ olan dikdörtgenler prizması biçimindeki boş bir kaba boşaltılıyor. Buna göre, prizmadaki suyun yüksekliği kaç $\text{cm}$ olur? ( $\pi = 3$ alınız.)

4

6

8

12

30

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Prizmadaki suyun yüksekliği 12 cm olur.

Silindirdeki suyun hacmi

V = 3 \cdot 4^2 \cdot 10 = 480\text{ cm}^3

olarak bulunur. Dikdörtgenler prizmasının taban alanı

5 \cdot 8 = 40\text{ cm}^2

olduğundan, suyun yüksekliği

480 / 40 = 12\text{ cm}

olur.

Step-by-Step Solution

1

Silindirin hacim formülünü (

V = \pi \cdot r^2 \cdot h

) kullanarak silindirdeki suyun toplam hacmini hesaplayalım.

V = 3 \cdot 4^2 \cdot 10 = 3 \cdot 16 \cdot 10 = 480\text{ cm}^3

Kap tamamen dolu olduğu için suyun hacmi silindirin hacmine eşittir.

2

Suyun boşaltılacağı dikdörtgenler prizmasının taban alanını (

T_A = a \cdot b

) bulalım.

T_A = 5 \cdot 8 = 40\text{ cm}^2

Suyun prizma içindeki yüksekliğini bulmak için taban alanına ihtiyacımız vardır.

3

Suyun hacmini prizmanın taban alanına bölerek prizmadaki suyun yüksekliğini (

H

) bulalım.

H = \frac{480}{40} = 12\text{ cm}

Prizmadaki suyun hacmi

V = T_A \cdot H

bağ��ntısı ile hesaplandığı için hacim taban alanına bölünür.

Key Concept

Dik dairesel silindir ve dikdörtgenler prizmasının hacim hesaplamaları ile hacmin korunumu ilkesi.

Hints

1

Öncelikle silindirin hacmini bulmak için

V = \pi r^2 h

formülünü kullanın.

2

Bulduğunuz su hacmini, suyun boşaltılacağı prizmanın taban alanına (

5 \cdot 8

) bölerek yüksekliği bulun.

Estimated Time:1m 30s

Question 4Question →

Taban yarıçapı $8\text{ cm}$ olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kabın içinde bir miktar su bulunmaktadır. Bu kabın içine yarıçapı $6\text{ cm}$ olan demir bir küre bırakıldığında, küre tamamen suya batmaktadır. Buna göre, kaptaki su seviyesindeki artış kaç santimetredir?

\frac{9}{4}

\frac{9}{8}

\frac{9}{2}

\frac{27}{2}

\frac{3}{4}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{9}{2}$

Answer

Kaptaki su seviyesindeki artış

\frac{9}{2}

santimetredir.

Kürenin suya batması sonucu kaptaki su seviyesinde meydana gelen yükselme, tamamen kürenin hacminden kaynaklanır. Yarıçapı

6\text{ cm}

olan kürenin hacmi

288\pi\text{ cm}^3

olarak bulunur. Taban yarıçapı

8\text{ cm}

olan silindirik kapta yükselen suyun hacmi ise

\pi \cdot 8^2 \cdot h = 64\pi h

olur. Bu iki hacim eşitlendiğinde

h = \frac{9}{2}\text{ cm}

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Kürenin hacmini hesaplayın.

V_{\text{küre}} = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (6)^3 = 288\pi\text{ cm}^3

Suya tamamen batan kürenin hacmi, kaptaki suyun hacimsel artışına eşit olacakt��r.

2

Silindirde yükselen suyun hacmini artış yüksekliği olan

h

cinsinden yazın.

V_{\text{su}} = \pi r^2 h = \pi (8)^2 h = 64\pi h\text{ cm}^3

Yükselen su dilimi, taban yarıçapı silindirin yarıçapıyla aynı ve yüksekliği

h

olan bir silindir oluşturur.

3

Kürenin hacmi ile yükselen suyun hacmini birbirine eşitleyerek yükselme miktarını bulun.

64\pi h = 288\pi \implies h = \frac{288}{64} = \frac{9}{2}\text{ cm}

Batan cismin hacmi yer değiştiren sıvının hacmine eşit olmak zorundadır.

Key Concept

Batan katı cisimlerin sıvı seviyesini kendi hacimleri kadar yükseltmesi ilkesi ve silindir ile küre hacim formüllerinin uygulanması.

Question 5Question →

Taban ayrıtları $6\text{ cm}$ ve $8\text{ cm}$ olan, içinde $5\text{ cm}$ yüksekliğinde su bulunan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir kabın içine; taban yarıçapı $3\text{ cm}$ ve yüksekliği $10\text{ cm}$ olan dik dairesel silindir bi��imindeki metal bir blok, tabanı kabın tabanına değecek şekilde dikey olarak yerleştiriliyor. Son durumda silindir bloğun tamamı suyun içinde kaldığına göre, kaptaki suyun son durumdaki yüksekliği kaç santimetre olur? ( $\pi = 3$ alınız.)

\frac{85}{8}

\frac{45}{8}

\frac{55}{8}

\frac{125}{7}

\frac{55}{2}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{85}{8}$

Answer

Son durumdaki suyun yüksekliği

\frac{85}{8}\text{ cm}

olur.

Kaptaki suyun son durumdaki yüksekliğini bulmak için öncelikle suyun hacmi ile tamamen batan silindirin hacmi toplanır. Toplam hacim, kabın taban alanına bölünerek yeni su yüksekliği elde edilir. Suyun ilk hacmi

6 \times 8 \times 5 = 240\text{ cm}^3

, silindirin hacmi ise

\pi r^2 h = 3 \times 3^2 \times 10 = 270\text{ cm}^3

olur. Toplam hacim

240 + 270 = 510\text{ cm}^3

ve kabın taban alanı

6 \times 8 = 48\text{ cm}^2

olduğundan, son durumdaki su yüksekliği

\frac{510}{48} = \frac{85}{8}\text{ cm}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Suyun ilk hacmini hesaplama

V_{su} = 6 \times 8 \times 5 = 240\text{ cm}^3

Kaptaki başlangıç su hacmini belirlemek için prizmanın taban alanı ile su yüksekliği çarpılır.

2

Metal silindir bloğunun hacmini hesaplama

V_{silindir} = \pi r^2 h = 3 \times 3^2 \times 10 = 270\text{ cm}^3

Silindir tamamen suya battığı için taşırdığı veya yükselttiği su hacmi kendi hacmine eşit olacaktır.

3

Toplam hacmi kullanarak son su yüksekliğini bulma

V_{toplam} = 240 + 270 = 510\text{ cm}^3

. Son yükseklik

y

olmak üzere,

48 \times y = 510 \implies y = \frac{510}{48} = \frac{85}{8}\text{ cm}

bulunur.

Silindir tamamen battığı için suyun ve silindirin kapladığı toplam hacim, kabın taban alanı ile son yükseklik çarpımına eşittir.

Key Concept

Tamamen batan katı cisimlerin, batan hacimleri kadar sıvı hacmi yer değiştirmesi prensibi.

Question 6Question →

Bir dik dairesel silindirin taban yarıçapı $2$ katına çıkarılıp yüksekliği yarıya indiriliyor. Buna göre, yeni silindirin hacminin başlangıçtaki silindirin hacmine oranı kaçt��r?

2

1

4

\frac{1}{2}

8

Show answer & explanation

Answer: $2$

Answer

Yeni silindirin hacminin başlangıçtaki silindirin hacmine oranı 2'dir.

Başlangıçtaki silindirin hacmi

V_1 = \pi r^2 h

formülüyle hesaplanır. Yarıçapı

2

katına çıkarılıp yüksekliği yarıya indirildiğinde oluşan yeni silindirin hacmi

V_2 = \pi (2r)^2 \frac{h}{2} = 2\pi r^2 h

olur. Bu iki hacim oranlandığında

\frac{V_2}{V_1} = 2

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Başlangıçtaki silindirin yarıçapını

r

ve yüksekliğini

h

olarak belirleyip hacim formülünü yazın.

V_1 = \pi r^2 h

Başlangıç durumundaki hacmi matematiksel olarak ifade etmek için.

2

Yeni silindirin yarıçapını

2r

ve yüksekliğini

\frac{h}{2}

olarak belirleyip yeni hacim formülünü yazın.

V_2 = \pi (2r)^2 \left(\frac{h}{2}\right) = 2\pi r^2 h

Değişimler uygulandıktan sonraki yeni hacmi hesaplamak için.

3

Yeni hacmi başlangıçtaki hacme oranlayın.

\frac{V_2}{V_1} = \frac{2\pi r^2 h}{\pi r^2 h} = 2

Soruda istenen hacim oranını bulmak için.

Key Concept

Silindirin hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir (

V = \pi r^2 h

). Yarıçaptaki değişimlerin hacme etkisi karesel (

r^2

), yükseklikteki değişimlerin etkisi ise doğrusaldır (

h

).

Estimated Time:45s

Question 7Question →

Taban ayrıtları $3\text{ cm}$ ve $4\text{ cm}$ , yüksekliği $12\text{ cm}$ olan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir kap tamamen suyla doludur. Bu suyun tamamı, taban yarıçapı $4\text{ cm}$ olan dik dairesel silindir biçimindeki boş bir kaba boşaltılıyor. Buna göre, silindir kapta suyun yüksekliği kaç $\text{ cm}$ olur? ( $\pi = 3$ alınız.)

4

3

6

9

12

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Yüksekliğin 3 cm olduğu seçenek

Dikdörtgenler prizmasındaki suyun hacmi

3 \times 4 \times 12 = 144\text{ cm}^3

olarak bulunur. Silindirin taban alanı ise

\pi r^2 = 3 \times 4^2 = 48\text{ cm}^2

değerine eşittir. Su silindire boşaltıldığında hacim değişmeyeceğinden, taban alanı ile yüksekliğin çarpımı bu hacmi vermelidir. Buradan

48 \times h = 144

eşitliği kurulur ve suyun yüksekliği

h = 3\text{ cm}

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Dikdörtgenler prizması şeklindeki kaptaki suyun hacmini hesaplayınız.

Prizmanın hacmi

V = 3 \times 4 \times 12 = 144\text{ cm}^3

olur. Kap tamamen dolu olduğundan suyun hacmi de

144\text{ cm}^3

olarak bulunur.

Suyun toplam miktarını belirlemek için başlangıçtaki kabın hacmini bulmamız gerekir.

2

Suyun boşaltılacağı silindir kabın taban alanını hesaplayınız.

Taban alanı

A = \pi r^2 = 3 \times 4^2 = 3 \times 16 = 48\text{ cm}^2

olarak bulunur.

Silindirdeki suyun yüksekliğini hacim cinsinden ifade edebilmek için taban alanı hesaplanmalıdır.

3

Suyun hacmini silindirin hacim bağıntısına eşitleyerek yüksekliği bulunuz.

Suyun hacmi

V = A \times h \Rightarrow 144 = 48 \times h \Rightarrow h = 3\text{ cm}

olarak bulunur.

Kaplar arasında aktarılan suyun hacmi değişmeyeceğinden hacimler birbirine eşitlenir.

Key Concept

Dikdörtgenler prizması ve dik dairesel silindirin hacim hesaplamaları ile hacim korunumu prensibi.

Estimated Time:1m 0s

Question 8Question →

Taban yarıçapı $2\text{ cm}$ ve yüksekliği $10\text{ cm}$ olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kap tamamen suyla doludur. Bu kap, tabanı yatay düzlemle $45^\circ$ lik açı yapacak şekilde eğilerek içindeki suyun bir kısmı dökülüyor. Kap tekrar dik konuma getirildikten sonra, dökülen suyun oluşturduğu boşluğu tamamen doldurmak için kabın içine yarıçapı $1\text{ cm}$ olan demir kürelerden kaç tane atılmalıdır? (Kürelerin hacimlerinin toplamı, boş kalan kısmın hacmine eşit olacaktır.)

3

6

8

12

16

Show answer & explanation

Answer: $6$

Answer

Boş kalan hacmi tamamen doldurmak için kabın içine 6 tane demir küre atılmalıdır.

Doğru yanıt olan 6 sayısı, eğik silindirdeki boş hacim (

8\pi\text{ cm}^3

) ile bir kürenin hacmi (

\frac{4}{3}\pi\text{ cm}^3

) oranlanarak bulunur:

8\pi \div \frac{4}{3}\pi = 6

.

Step-by-Step Solution

1

Silindir yatay düzlemle

45^\circ

açı yapacak şekilde eğildiğinde dökülen suyun sınırını belirleyen yüksekliği bulun.

Boş kalan kısmın yüksekliği, silindirin çapı ile

\tan(45^\circ)

değerinin çarpımına eşittir:

h_{\text{boş}} = 2r \cdot \tan(45^\circ) = 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4\text{ cm}

.

Eğilen silindirde su yüzeyi daima yatay kalır. Bu nedenle oluşan boşluğun sınır yüksekliği silindirin çapına bağlıdır.

2

Dök��len suyun hacmini (yani kapta oluşan boşluğun hacmini) hesaplayın.

Oluşan boş hacim, yüksekliği

4\text{ cm}

olan tam silindirin hacminin yarısıdır:

V_{\text{boş}} = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h_{\text{boş}} = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 2^2 \cdot 4 = 8\pi\text{ cm}^3

.

Eğik kesilen silindirin üst kısmındaki boşluk, simetriden dolayı aynı yükseklikteki tam silindirin yarısı kadardır.

3

Bir adet demir kürenin hacmini bulun.

Yarıçapı

R = 1\text{ cm}

olan bir kürenin hacmi:

V_{\text{küre}} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 1^3 = \frac{4}{3}\pi\text{ cm}^3

.

Kürenin hacmini bulmak için

V = \frac{4}{3}\pi R^3

formülü kullanılır.

4

Boş hacmi doldurmak için gereken küre sayısını hesaplayın.

Gereken küre sayısı

N = \frac{V_{\text{boş}}}{V_{\text{küre}}} = \frac{8\pi}{\frac{4}{3}\pi} = 8 \cdot \frac{3}{4} = 6

adettir.

Kürelerin toplam hacminin boş kalan kısmın hacmine eşit olması gerektiğinden, boş hacim bir kürenin hacmine bölünür.

Key Concept

Eğik silindirlerin hacim hesabı ve kürenin hacim formülü.

Estimated Time:2m 30s

Question 9Question →

Bir ayrıtının uzunlu��u $8\text{ cm}$ olan içi dolu ahşap bir küpün üst yüzeyinin tam ortasından, taban ayrıtı $2\text{ cm}$ ve yüksekliği $3\text{ cm}$ olan kare dik prizma biçimindeki bir parça oyularak çıkarılıyor. Buna göre, oluşan yeni cismin toplam yüzey alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

384

404

408

412

500

Show answer & explanation

Answer: $408$

Answer

Yeni cismin toplam yüzey alanı

408\text{ cm}^2

dir.

Küpün başlangıçtaki toplam yüzey alanı

6 \times 8^2 = 384\text{ cm}^2

dir. Küpten taban ayrıtı

2\text{ cm}

ve yüksekliği

3\text{ cm}

olan kare dik prizma çıkarıldığında, küpün üst yüzeyinde

2 \times 2 = 4\text{ cm}^2

lik bir alan eksilir. Ancak oyulan kısmın tabanında yine

2 \times 2 = 4\text{ cm}^2

lik bir alan oluşur. Bu iki alan birbirini nötrler. Ek olarak, oyulan prizmanın iç yan yüzeyleri olan 4 adet

2 \times 3 = 6\text{ cm}^2

lik dikdörtgen yüzey (

4 \times 6 = 24\text{ cm}^2

) yeni yüzey alanı olarak eklenir. Dolayısıyla net alan artışı

24\text{ cm}^2

olur. Toplam yüzey alanı ise

384 + 24 = 408\text{ cm}^2

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Küpün başlangıçtaki toplam yüzey alanını hesaplayalım.

6 \times 8^2 = 6 \times 64 = 384\text{ cm}^2

Bir ayrıtı

a

olan küpün toplam yüzey alanı

6a^2

formül��yle bulunur.

2

Parça çıkarıldıktan sonra yüzey alanındaki azalışı belirleyelim.

Küpün üst yüzeyinden

2 \times 2 = 4\text{ cm}^2

lik bir kare alan eksilir.

Oyulan prizmanın üst tabanı açık olduğu için bu bölgedeki alan artık dış yüzeyin parçası değildir.

3

Oyuk nedeniyle eklenen yeni yüzey alanlarını hesaplayalım.

Oyuğun tabanındaki

2 \times 2 = 4\text{ cm}^2

lik kare alan ve oyuğun yanlarında oluşan 4 adet

2 \times 3 = 6\text{ cm}^2

lik dikdörtgen alan (toplam

24\text{ cm}^2

) yeni yüzey olarak eklenir.

Oyuğun iç yüzeyleri cismin yeni dış yüzey sınırlarını oluşturur.

4

Net alan değişimini hesaplayarak sonuca ulaşalım.

Net değişim:

-4\text{ cm}^2

(eksilen üst yüzey)

+ 4\text{ cm}^2

(eklenen taban)

+ 24\text{ cm}^2

(eklenen yanlar)

= +24\text{ cm}^2

. Sonuç olarak toplam yüzey alanı

384 + 24 = 408\text{ cm}^2

olur.

Eksilen ve eklenen alanların net farkı başlangıç alanına ilave edilir.

Key Concept

Katı cisimlerde oyma veya parça çıkarma işlemlerinde yüzey alanı değişimi

Hints

1

Küpün başlangıçtaki toplam yüzey alanını

6a^2

formülünden hesaplayın.

2

Oyulan parçanın üst yüzeydeki eksilmesi ile oyuk tabanında oluşan yeni yüzeyin alanlarının eşit olduğuna ve birbirini dengelediğine dikkat edin.

3

Net alan artışı, sadece içeri doğru oyulan prizmanın iç yan duvarlarının toplam alanına (

4 \times 2 \times 3

) eşittir.

Practice More

Küpün tam köşesinden bir parça çıkarılsaydı yüzey alanının nasıl değişeceğini düşünerek bu konudaki mantığı pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Yüzey alanındaki değişimi doğrudan değişim miktarları üzerinden hesaplayabiliriz: Değişim = (Eklenen Alanlar) - (Eksilen Alanlar). Eklenen alanlar: 1 adet taban (

2 \times 2 = 4\text{ cm}^2

) + 4 adet yan yüzey (

4 \times (2 \times 3) = 24\text{ cm}^2

) =

28\text{ cm}^2

. Eksilen alanlar: Üst yüzeydeki boşluk (

2 \times 2 = 4\text{ cm}^2

). Net değişim:

+28 - 4 = +24\text{ cm}^2

(artış). Başlangıç alanı

384\text{ cm}^2

olduğundan yeni alan

384 + 24 = 408\text{ cm}^2

bulunur.

Estimated Time:1m 30s

Question 10Question →

Taban yarıçapı $6\text{ cm}$ ve yüksekliği $8\text{ cm}$ olan dik dairesel koni biçimindeki boş bir kabın içine; koninin tabanına ve yan yüzeyine teğet olacak şekilde bir küre yerleştiriliyor.

Buna göre, koninin içinde kürenin dışında kalan boş bölgenin hacminin, kürenin hacmine oranı kaçtır?

\frac{5}{3}

\frac{8}{3}

\frac{3}{5}

7

\frac{3}{8}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{5}{3}$

Answer

Boş bölgenin hacminin kürenin hacmine oranı beş bölü üç olur.

Koni içine yerleştirilen teğet kürenin yarıçapı, koninin dikey kesitindeki ikizkenar üçgenin iç teğet çember yarıçapına eşittir ve benzerlikten

3\text{ cm}

olarak hesaplanır. Koninin hacmi

96\pi\text{ cm}^3

, kürenin hacmi

36\pi\text{ cm}^3

ve boş bölgenin hacmi

60\pi\text{ cm}^3

olduğundan, boş bölgenin kürenin hacmine oranı beş bölü üç olur.

Step-by-Step Solution

1

Koninin taban yarıçapı (

R = 6\text{ cm}

) ve yüksekliği (

H = 8\text{ cm}

) kullanılarak toplam hacmi hesaplanır.

V_{\text{koni}} = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi (6^2) (8) = 96\pi\text{ cm}^3

Kürenin dışında kalan boş bölgenin hacmini bulmak için öncelikle koninin toplam hacmi bilinmelidir.

2

Koninin tepe noktasından geçen dikey kesit düzlemi çizilerek koninin ana doğrusunun (

L

) uzunluğu hesaplanır.

L = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\text{ cm}

Kürenin yarıçapını hesaplamak için kesit üçgeninin kenar uzunluklar��na ihtiyaç duyulur.

3

Kesit düzleminde oluşan ikizkenar üçgenin (tabanı

12\text{ cm}

, yan kenarları

10\text{ cm}

) iç teğet çemberinin yarıçapı (

r

) benzerlik veya alan bağıntısı (

Alan = u \cdot r

) kullanılarak bulunur.

Üçgenin alanı

A = \frac{12 \cdot 8}{2} = 48\text{ cm}^2

ve yarı çevre

u = \frac{10 + 10 + 12}{2} = 16\text{ cm}

olduğundan,

r = \frac{48}{16} = 3\text{ cm}

bulunur.

Kürenin yarıçapı, koninin dikey kesitindeki ikizkenar üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapına eşittir.

4

Yarıçapı

r = 3\text{ cm}

olan kürenin hacmi hesaplanır.

V_{\text{küre}} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (3^3) = 36\pi\text{ cm}^3

Kürenin hacmi, oran hesabında kullanılacaktır.

5

Koninin hacminden kürenin hacmi çıkarılarak boş bölgenin hacmi bulunur.

V_{\text{boş}} = V_{\text{koni}} - V_{\text{küre}} = 96\pi - 36\pi = 60\pi\text{ cm}^3

Soruda istenen oran boş bölgenin hacmini temel almaktadır.

6

Bulunan boş bölge hacmi, kürenin hacmine oranlanır.

Oran =

\frac{V_{\text{boş}}}{V_{\text{küre}}} = \frac{60\pi}{36\pi} = \frac{5}{3}

İstenen nihai sonuca ulaşmak için oranlama yapılır.

Key Concept

Dik dairesel koni ve kürenin hacim formülleri ile 3D katı cisimlerin kesit alanlarındaki geometrik benzerlikler ve iç teğet çember özellikleri.

Question 11Question →

Taban yarıçapı $R$ ve yüksekliği $H$ olan dik dairesel silindir biçimindeki boş bir kabın içerisine; taban yarıçapı ve yüksekliği bu silindirle aynı olan bir dik dairesel koni, tepe noktası silindirin taban merkezine gelecek ve tabanı silindirin üst tabanıyla çakışacak biçimde yerleştiriliyor. Silindir ile koni arasında kalan boşluğa, su seviyesi silindirin yüksekliğinin yarısına gelene kadar su dolduruluyor. Buna göre, doldurulan suyun hacminin silindirin toplam hacmine oranı kaçtır?

\frac{5}{12}

\frac{11}{24}

\frac{5}{24}

\frac{1}{3}

\frac{3}{8}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{11}{24}$

Answer

Doldurulan suyun hacminin silindirin toplam hacmine oranı

\frac{11}{24}

'tür.

Su seviyesinin yarısına kadar olan silindir hacminden, tepe noktası tabanda bulunan koninin bu seviyenin altında kalan (benzerlik oranı 1/2 olan) küçük koni parçasının hacmi çıkarıldığında suyun hacmi elde edilir. Bu hesaplama

\frac{1}{2} - \frac{1}{24} = \frac{11}{24}

oranını verir.

Step-by-Step Solution

1

Silindir ve koninin toplam hacimlerini sembolik olarak ifade edin.

Silindirin hacmi

V_{\text{silindir}} = \pi R^2 H

ise koninin hacmi

V_{\text{koni}} = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}V_{\text{silindir}}

olur.

Su hacmini silindirin toplam hacmi cinsinden oranlamak i��in her iki cismin hacim ilişkisini kurmak gerekir.

2

Su seviyesinin ulaştığı yüksekliğe kadar olan silindir hacmini hesaplayın.

Yarı yüksekliğe (

H/2

) kadar olan silindir hacmi

V_{\text{yarım\_silindir}} = \pi R^2 \left(\frac{H}{2}\right) = \frac{1}{2}V_{\text{silindir}}

olur.

Doldurulan su bu seviyedeki silindir bölgesini kaplayacaktır.

3

Koninin bu yükseklikte kalan batan kısmının (küçük koninin) hacmini bulun.

Tepe noktası tabanda olduğundan,

H/2

yüksekliğindeki kısım tüm koni ile

\frac{1}{2}

benzerlik oranına sahiptir. Hacimler oranı benzerlik oranının küpü olduğundan,

V_{\text{batan\_koni}} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 V_{\text{koni}} = \frac{1}{8}V_{\text{koni}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{3}V_{\text{silindir}} = \frac{1}{24}V_{\text{silindir}}

olur.

Koni içindeki boşluğa su giremeyeceği için koninin batan kısmının hacmini silindir hacminden düşmemiz gerekir.

4

Su hacmini ve bunun silindir hacmine oranını bulun.

V_{\text{su}} = V_{\text{yarım\_silindir}} - V_{\text{batan\_koni}} = \frac{1}{2}V_{\text{silindir}} - \frac{1}{24}V_{\text{silindir}} = \frac{11}{24}V_{\text{silindir}}

olur. Buradan oran

\frac{11}{24}

bulunur.

Suyun hacmi, yarım silindirin hacminden koninin batan kısmının hacmi çıkarılarak elde edilir.

Key Concept

Koni ve silindir hacim formülleri ile katı cisimlerde benzerlik oranı ve hacim ilişkisi.

Estimated Time:2m 30s

Katı Cisimler

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes