Examkin

Question

Difficulty: Very hardHareket Problemleri

A kentinden B kentine doğru sabit hızla hareket eden bir otomobil ile B kentinden A kentine doğru aynı anda ve sabit hızla yola çıkan bir motosiklet, yol üzerindeki bir C noktasında karşılaşıyorlar.

Karşılaştıkları anda otomobil h��zını 2 katına çıkarıyor, motosiklet ise hızını yarıya indiriyor. Bu hız değişimlerinden sonra yoluna devam eden otomobil B kentine ulaştığı anda, motosikletin A kentine ulaşmasına 150 km150\text{ km} yol kalıyor.

Eğer bu araçlar karşılaştıktan sonra hızlarını değiştirmeselerdi, otomobil B kentine ulaştığı anda motosikletin A kentine ulaşmasına 120 km120\text{ km} yol kalmış olacaktı.

Buna göre, A ve B kentleri arasındaki toplam mesafe kaç km\text{km}'dir?

  1. A
    160
  2. B
    180
  3. 240Answer
  4. D
    300
  5. E
    320

Answer

Toplam yol mesafesi olan 240 km
Denklemler kurulup çözüldüğünde, karşılaşma noktasının A kentine olan uzaklığı 160 km160\text{ km} ve B kentine olan uzaklığı 80 km80\text{ km} olarak elde edilir. Bu iki mesafenin toplamı olan 240 km240\text{ km} A ile B kentleri arasındaki toplam mesafeyi verir.

Step-by-Step Solution

1
Araçların ilk hızlarını ve yol bölümlerini tanımlama
Otomobilin hızı v1v_1, motosikletin hızı v2v_2 olsun. Karşılaşma noktası C olmak üzere, A ile C arası xx km, C ile B arası yy km olsun. Aynı anda yola çıkıp C'de karşılaştıkları için geçen süreler eşittir: xv1=yv2  ⟹  v2v1=yx\frac{x}{v_1} = \frac{y}{v_2} \implies \frac{v_2}{v_1} = \frac{y}{x}
Karşılaşma anına kadar geçen sürenin eşitliğini kullanarak hızlar ile yollar arasında bir oran kurmak gerekir.
2
Hızların değişmediği durum için denklem kurma
Otomobil C'den B'ye (yy yolu) v1v_1 hızıyla yv1\frac{y}{v_1} sürede gider. Bu sürede motosikletin aldığı yol v2⋅yv1=y2xv_2 \cdot \frac{y}{v_1} = \frac{y^2}{x} km olur. Kalan yol 120 km120\text{ km} olduğuna göre: x−y2x=120  ⟹  y2=x2−120xx - \frac{y^2}{x} = 120 \implies y^2 = x^2 - 120x olur.
Araçların hız değişiminin olmadığı durumda aldıkları yolları ve kalan mesafeyi ilişkilendirerek ilk denklemi oluşturmak.
3
Hızların değiştiği durum için denklem kurma
Otomobilin yeni hızı 2v12v_1, motosikletin yeni hızı 0,5v20,5v_2 olur. Otomobil C'den B'ye y2v1\frac{y}{2v_1} sürede ulaşır. Bu sürede motosikletin aldığı yol 0,5v2⋅y2v1=y24x0,5v_2 \cdot \frac{y}{2v_1} = \frac{y^2}{4x} km olur. Kalan yol 150 km150\text{ km} olduğuna göre: x−y24x=150  ⟹  y2=4x2−600xx - \frac{y^2}{4x} = 150 \implies y^2 = 4x^2 - 600x olur.
Belirtilen hız değişimlerine göre araçların hareket sürelerini ve aldıkları yolları hesaplayıp ikinci denklemi oluşturmak.
4
İki denklemdeki y2y^2 ifadelerini eşitleyerek xx değerini çözme
x2−120x=4x2−600x  ⟹  3x2−480x=0x^2 - 120x = 4x^2 - 600x \implies 3x^2 - 480x = 0. x≠0x \neq 0 olduğundan 3x(x−160)=0  ⟹  x=160 km3x(x - 160) = 0 \implies x = 160\text{ km} bulunur.
İki bilinmeyenli iki denklemi ortak çözerek karşılaşma noktasının A kentine olan uzaklığını (xx) hesaplamak.
5
Bulunan xx değeriyle yy değerini ve toplam yolu hesaplama
y2=1602−120⋅160=160(160−120)=6400  ⟹  y=80 kmy^2 = 160^2 - 120 \cdot 160 = 160(160 - 120) = 6400 \implies y = 80\text{ km} olur. Toplam yol D=x+y=160+80=240 kmD = x + y = 160 + 80 = 240\text{ km} olarak bulunur.
A ve B kentleri arasındaki toplam mesafeyi bulmak için elde edilen alt yolları (xx ve yy) toplamak.

Key Concept

İki hareketlinin karşılaşma problemlerinde geçen zamanın eşitliği ve hız-zaman-yol ilişkisinin oranlar üzerinden modellenmesi.

Hints

1
C noktasındaki karşılaşma anına kadar geçen sürenin eşitliğini kullanarak araçların hızları oranı ile yolların oranı (xx ve yy) arasında bir ilişki kurun.
2
Karşılaşmadan sonra otomobilin B'ye ulaşma sürelerini her iki durum için de ayrı ayrı yazıp bu sürelerde motosikletin A'ya doğru ne kadar yol alabileceğini y2x\frac{y^2}{x} cinsinden ifade edin.
3
y2=x2−120xy^2 = x^2 - 120x ve y2=4x2−600xy^2 = 4x^2 - 600x denklemlerini eşitleyerek önce xx'i, ardından yy'yi bulun.

Practice More

Karşılaştıktan sonra yönlerini değiştiren veya dairesel bir pistte hareket eden benzer hız değişimli hareket problemlerini çözerek bu yöntemi pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Oran-orantı mantığıyla: İkinci durumda otomobil hızını 2 katına çıkardığı için hedefi daha kısa sürede tamamlar. Motosiklet ise hem yarı yarıya daha yavaş hareket eder hem de otomobil hızlandığı için daha kısa süre hareket imkanı bulur. Bu sebeple motosikletin aldığı yol ilk duruma göre 12×12=14\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} oranına düşer. Buradan y2/xy^2/x ifadesinin 34\frac{3}{4}'ünün azalmasının kalan yolu 30 km artırdığı (150−120=30150 - 120 = 30) görülür. Buradan denklem çözümleri daha hızlı yapılabilir.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Hareket Problemleri

More questions from this topic