Examkin

Question

Difficulty: HardDeltoid

Köşelerinden ikisi BB ve DD olan bir ABCDABCD deltoidinde AB=AD=6AB = AD = 6 birimdir. Deltoidin iç açılarından iki tanesinin ölçüsü m(BAD^)=120∘m(\widehat{BAD}) = 120^\circ ve m(BCD^)=60∘m(\widehat{BCD}) = 60^\circ olarak verilmiştir. Bu deltoidin [BC][BC] kenarının orta noktası MM noktası olduğuna göre, DD köşesi ile MM noktası arasındaki uzaklık (∣DM∣|DM|) kaç birimdir?

  1. A
    333\sqrt{3}
  2. B
    636\sqrt{3}
  3. 9Answer
  4. D
    18
  5. E
    6

Answer

D köşesi ile M noktası arasındaki uzaklık 9 birimdir.
Deltoidin köşegeninin açıortay olma özelliğinden ABCABC üçgeninin 30∘−60∘−90∘30^\circ - 60^\circ - 90^\circ dik üçgeni olduğu belirlenir. Bu üçgende BC=63BC = 6\sqrt{3} birim bulunur. Tepe açısı 60∘60^\circ olan BCDBCD ikizkenar üçgeni aslında bir eşkenar üçgendir. Eşkenar üçgende kenarortay (DMDM) aynı zamanda yükseklik olduğundan uzunluğu 99 birim olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Deltoidin köşegen özelliklerini kullanarak ACAC köşegeninin tepe açılarının açıortayı olduğunu belirlemek.
m(BAC^)=m(DAC^)=60∘m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{DAC}) = 60^\circ ve m(BCA^)=m(DCA^)=30∘m(\widehat{BCA}) = m(\widehat{DCA}) = 30^\circ olarak bulunur.
Deltoidde eşit olmayan kenarların birleştiği köşeleri birleştiren köşegen (ACAC), tepe açıların��n açıortayıdır.
2
ABCABC üçgeninin iç açılarından yola çıkarak kenar uzunluklarını hesaplamak.
m(ABC^)=180∘−(60∘+30∘)=90∘m(\widehat{ABC}) = 180^\circ - (60^\circ + 30^\circ) = 90^\circ olur. Bu durumda ABCABC bir 30∘−60∘−90∘30^\circ - 60^\circ - 90^\circ özel dik üçgenidir. 30∘30^\circ'lik açının karşısındaki AB=6AB = 6 birim ise, 60∘60^\circ'lik açının karşısındaki BCBC kenarı 636\sqrt{3} birimdir.
30∘−60∘−90∘30^\circ - 60^\circ - 90^\circ dik üçgeninde 60∘60^\circ'lik açının karşısındaki kenar, 30∘30^\circ'lik açının karşısındaki kenarın 3\sqrt{3} katına eşittir.
3
BCDBCD üçgeninin türünü belirlemek ve DMDM kenarortay uzunluğunu hesaplamak.
BC=CD=63BC = CD = 6\sqrt{3} ve m(BCD^)=60∘m(\widehat{BCD}) = 60^\circ olduğundan, BCDBCD üçgeni bir eşkenar üçgendir. Eşkenar üçgende [BC][BC] kenarının orta noktası MM olduğuna göre, [DM][DM] hem kenarortay hem de yüksekliktir. Eşkenar üçgenin yükseklik formülünden ∣DM∣=a32=63⋅32=9|DM| = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = 9 birim olarak hesaplanır.
Eşkenar üçgende çizilen kenarortay aynı zamanda yüksekliktir ve uzunluğu bir kenar uzunluğunun 32\frac{\sqrt{3}}{2} katına eşittir.

Key Concept

Deltoidde köşegenlerin açıortay özelliği ile özel dik üçgen ve eşkenar üçgen bağıntıları.

Alternative Method

Alternatif olarak, deltoidin köşegenleri olan [AC][AC] ve [BD][BD]'nin dik kesiştiği bilgisi kullanılarak koordinat düzlemi üzerinde yerleşim yapılabilir. EE kesişim noktası orijin (0,0)(0,0) kabul edilirse; A(0,3)A(0,3), B(−33,0)B(-3\sqrt{3},0), C(0,−9)C(0,-9) ve D(33,0)D(3\sqrt{3},0) koordinatları elde edilir. Buradan BCBC kenarının orta noktası olan MM noktasının koordinatları M(−332,−92)M\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{9}{2}\right) olarak bulunur. İki nokta arasındaki uzaklık formülü kullanılarak ∣DM∣=(33−(−332))2+(0−(−92))2=9|DM| = \sqrt{\left(3\sqrt{3} - \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\right)^2 + \left(0 - \left(-\frac{9}{2}\right)\right)^2} = 9 birim hesaplanır.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Deltoid

More questions from this topic