Examkin

Deltoid

2 questions

Question 1Question →

Şekildeki ABCDABCD deltoidinde AB=ADAB = AD ve CB=CDCB = CD'dir. Bu deltoidin iç açılarından m(BAD^)=80∘m(\widehat{BAD}) = 80^\circ ve m(BCD^)=40∘m(\widehat{BCD}) = 40^\circ olduğuna göre, m(ADC^)m(\widehat{ADC}) açısının ölçüsü kaç derecedir?

Show answer & explanation

Answer: 120

Answer

120
Deltoidin tanımı gereği, eş olmayan kenarların birleştiği köşelerdeki açılar eşittir. Bu durumda m(ABC^)=m(ADC^)m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ADC}) olur. Dörtgenin iç açılar toplamı 360∘360^\circ olduğundan, 80∘+40∘+2⋅m(ADC^)=360∘80^\circ + 40^\circ + 2 \cdot m(\widehat{ADC}) = 360^\circ denklemi çözüldüğünde bilinmeyen açının ölçüsü 120 derece olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Deltoidin birbirine eşit olan açıların�� belirleyin.
m(ABC^)=m(ADC^)m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ADC}) olduğu belirlenir.
Deltoidde, farklı uzunluktaki kenarların birleştiği köşelerdeki açılar birbirine eşittir (AB=ADAB = AD ve CB=CDCB = CD olduğundan, BB ve DD köşelerindeki açılar eştir).
2
Dörtgenin iç açılarının toplamı kuralını uygulayarak bir denklem kurun.
m(BAD^)+m(BCD^)+m(ABC^)+m(ADC^)=360∘m(\widehat{BAD}) + m(\widehat{BCD}) + m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{ADC}) = 360^\circ denklemi elde edilir.
Bir dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı her zaman 360∘360^\circ'dir.
3
Verilen değerleri denklemde yerine yazarak bilinmeyen açıyı hesaplayın.
80∘+40∘+2⋅m(ADC^)=360∘  ⟹  120∘+2⋅m(ADC^)=360∘  ⟹  2⋅m(ADC^)=240∘  ⟹  m(ADC^)=120∘80^\circ + 40^\circ + 2 \cdot m(\widehat{ADC}) = 360^\circ \implies 120^\circ + 2 \cdot m(\widehat{ADC}) = 360^\circ \implies 2 \cdot m(\widehat{ADC}) = 240^\circ \implies m(\widehat{ADC}) = 120^\circ bulunur.
Cebirsel işlemlerle bilinmeyen açının değeri yalnız bırakılır.

Key Concept

Deltoidin Açı Özellikleri
Question 2Question →

Köşelerinden ikisi BB ve DD olan bir ABCDABCD deltoidinde AB=AD=6AB = AD = 6 birimdir. Deltoidin iç açılarından iki tanesinin ölçüsü m(BAD^)=120∘m(\widehat{BAD}) = 120^\circ ve m(BCD^)=60∘m(\widehat{BCD}) = 60^\circ olarak verilmiştir. Bu deltoidin [BC][BC] kenarının orta noktası MM noktası olduğuna göre, DD köşesi ile MM noktası arasındaki uzaklık (∣DM∣|DM|) kaç birimdir?

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

D köşesi ile M noktası arasındaki uzaklık 9 birimdir.
Deltoidin köşegeninin açıortay olma özelliğinden ABCABC üçgeninin 30∘−60∘−90∘30^\circ - 60^\circ - 90^\circ dik üçgeni olduğu belirlenir. Bu üçgende BC=63BC = 6\sqrt{3} birim bulunur. Tepe açısı 60∘60^\circ olan BCDBCD ikizkenar üçgeni aslında bir eşkenar üçgendir. Eşkenar üçgende kenarortay (DMDM) aynı zamanda yükseklik olduğundan uzunluğu 99 birim olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Deltoidin köşegen özelliklerini kullanarak ACAC köşegeninin tepe açılarının açıortayı olduğunu belirlemek.
m(BAC^)=m(DAC^)=60∘m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{DAC}) = 60^\circ ve m(BCA^)=m(DCA^)=30∘m(\widehat{BCA}) = m(\widehat{DCA}) = 30^\circ olarak bulunur.
Deltoidde eşit olmayan kenarların birleştiği köşeleri birleştiren köşegen (ACAC), tepe açıların��n açıortayıdır.
2
ABCABC üçgeninin iç açılarından yola çıkarak kenar uzunluklarını hesaplamak.
m(ABC^)=180∘−(60∘+30∘)=90∘m(\widehat{ABC}) = 180^\circ - (60^\circ + 30^\circ) = 90^\circ olur. Bu durumda ABCABC bir 30∘−60∘−90∘30^\circ - 60^\circ - 90^\circ özel dik üçgenidir. 30∘30^\circ'lik açının karşısındaki AB=6AB = 6 birim ise, 60∘60^\circ'lik açının karşısındaki BCBC kenarı 636\sqrt{3} birimdir.
30∘−60∘−90∘30^\circ - 60^\circ - 90^\circ dik üçgeninde 60∘60^\circ'lik açının karşısındaki kenar, 30∘30^\circ'lik açının karşısındaki kenarın 3\sqrt{3} katına eşittir.
3
BCDBCD üçgeninin türünü belirlemek ve DMDM kenarortay uzunluğunu hesaplamak.
BC=CD=63BC = CD = 6\sqrt{3} ve m(BCD^)=60∘m(\widehat{BCD}) = 60^\circ olduğundan, BCDBCD üçgeni bir eşkenar üçgendir. Eşkenar üçgende [BC][BC] kenarının orta noktası MM olduğuna göre, [DM][DM] hem kenarortay hem de yüksekliktir. Eşkenar üçgenin yükseklik formülünden ∣DM∣=a32=63⋅32=9|DM| = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = 9 birim olarak hesaplanır.
Eşkenar üçgende çizilen kenarortay aynı zamanda yüksekliktir ve uzunluğu bir kenar uzunluğunun 32\frac{\sqrt{3}}{2} katına eşittir.

Key Concept

Deltoidde köşegenlerin açıortay özelliği ile özel dik üçgen ve eşkenar üçgen bağıntıları.

Alternative Method

Alternatif olarak, deltoidin köşegenleri olan [AC][AC] ve [BD][BD]'nin dik kesiştiği bilgisi kullanılarak koordinat düzlemi üzerinde yerleşim yapılabilir. EE kesişim noktası orijin (0,0)(0,0) kabul edilirse; A(0,3)A(0,3), B(−33,0)B(-3\sqrt{3},0), C(0,−9)C(0,-9) ve D(33,0)D(3\sqrt{3},0) koordinatları elde edilir. Buradan BCBC kenarının orta noktası olan MM noktasının koordinatları M(−332,−92)M\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{9}{2}\right) olarak bulunur. İki nokta arasındaki uzaklık formülü kullanılarak ∣DM∣=(33−(−332))2+(0−(−92))2=9|DM| = \sqrt{\left(3\sqrt{3} - \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\right)^2 + \left(0 - \left(-\frac{9}{2}\right)\right)^2} = 9 birim hesaplanır.
Estimated Time:2m 30s
Deltoid Practice Questions — ALES | Examkin