Analitik düzlemde; y = \frac{4}{3}x doğrusu, y = k (k > 0) doğrusu ve y-ekseni arasında ka… — ALES

Analitik düzlemde; $y = \frac{4}{3}x$ doğrusu, $y = k$ ( $k > 0$ ) doğrusu ve $y$ -ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanı $54$ birimkaredir. Buna göre, bu kapalı bölgenin çevre uzunluğu kaç birimdir?

A
27
B
30
36Answer
D
42
E
48

Answer

Çevre uzunluğu 36 birim olan seçenektir.

Verilen doğruların sınırladığı bölge, dik kenarları 12 ve 9 birim olan bir dik üçgendir. 9-12-15 özel dik üçgeni özelliğinden hipotenüs uzunluğu 15 birim olup, bu üçgenin çevre uzunluğu 12 + 9 + 15 = 36 birim olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

Doğruların kesim noktalarını belirlemek

y = \frac{4}{3}x

doğrusu ile

y

-ekseninin (

x=0

) kesim noktası

(0,0)

;

y=k

doğrusu ile

y

-ekseninin kesim noktası

(0,k)

;

y = \frac{4}{3}x

ile

y=k

doğrularının kesim noktası ise

(\frac{3}{4}k, k)

olarak bulunur.

Sınırlı kapalı bölgenin köşelerini tespit ederek şeklin geometrik yapısını anlamak.

Kapalı bölgenin alanını k cinsinden ifade etmek

Oluşan şekil, dik köşesi

(0,k)

noktasında olan ve dik kenar uzunlukları

k

ile

\frac{3}{4}k

birim olan bir dik üçgendir. Bu üçgenin alanı

\frac{1}{2} \times k \times \frac{3}{4}k = \frac{3}{8}k^2

birimkaredir.

Verilen alan bilgisini kullanarak k değerini bulmak için denklem kurmak.

k değerini hesaplamak

\frac{3}{8}k^2 = 54 \Rightarrow 3k^2 = 432 \Rightarrow k^2 = 144 \Rightarrow k = 12

bulunur.

Üçgenin kesin boyutlarını elde etmek.

Çevre uzunluğunu hesaplamak

k=12

için dik kenarlar

12

9

birimdir. Pisagor bağıntısından hipotenüs

\sqrt{12^2 + 9^2} = 15

birim olarak bulunur. Çevre ise

12 + 9 + 15 = 36

birimdir.

Soru kökünde istenen kapalı bölgenin çevre uzunluğuna ulaşmak.

Key Concept

Eksenlere paralel doğrular ve orijinden geçen doğruların kesişim noktaları ile oluşturdukları kapalı bölgelerin analitik incelenmesi.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic