Examkin

Question

Difficulty: HardHareket Problemleri

Bir hızlı tren, iki istasyon arasındaki mesafenin ilk yarısını saatte ortalama 60 km60\text{ km} sabit hızla almıştır. Yolun ikinci yarısında ise tren, önce yol çalışması nedeniyle bir süre saatte 30 km30\text{ km} sabit hızla, çalışmanın bitiminden sonra ise kalan kısmı saatte 90 km90\text{ km} sabit hızla giderek ikinci istasyona ulaşmıştır.

Trenin tüm yolculuk boyunca ortalama hızı saatte 48 km48\text{ km} olduğuna göre, trenin yolun ikinci yarısında saatte 30 km30\text{ km} hızla hareket ettiği sürenin, saatte 90 km90\text{ km} hızla hareket ettiği süreye oranı kaçtır?

  1. A
    3
  2. B
    4
  3. 5Answer
  4. D
    6
  5. E
    9

Answer

Trenin yolun ikinci yarısında saatte 30 km hızla hareket ettiği sürenin, saatte 90 km hızla hareket ettiği süreye oranı 5'tir.
Ortalama hız formülü olan Toplam Yol / Toplam Zaman prensibine göre toplam yol 2S2S ve ilk yarıda geçen süre S/60S/60 olarak belirlenir. Ortalama hız 48 km/sa48\text{ km/sa} olduğuna göre ikinci yarıdaki toplam süre S/40S/40 olur. İkinci yarıda saatte 30 km30\text{ km} hızla gidilen süreye tAt_A, saatte 90 km90\text{ km} hızla gidilen süreye tBt_B denildiğinde toplam yol 30tA+90tB30t_A + 90t_B olur. Bu yol 40(tA+tB)40(t_A + t_B) ifadesine eşitlendiğinde 10tA=50tB10t_A = 50t_B elde edilir ve oran 5 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Yolun bölümlerini tanımlayarak ilk yarıda geçen süreyi belirleme.
İstasyonlar arasındaki toplam mesafeye 2S2S dersek, yolun ilk yarısı SS, ikinci yarısı da SS olur. İlk yarı saatte 60 km60\text{ km} hızla gidildiğinden geçen süre t1=S60t_1 = \frac{S}{60} olur.
Yolun ilk yarısı için harcanan süreyi yol değişkeni cinsinden ifade etmek.
2
Tüm yolculuk için ortalama hız formülünü kullanarak ikinci yarıdaki toplam süreyi bulma.
Vort=Toplam YolToplam Zaman=2St1+t2=48 km/saV_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}} = \frac{2S}{t_1 + t_2} = 48\text{ km/sa} eşitliğini kurarız. Buradan 2S=48(t1+t2)2S = 48(t_1 + t_2) elde edilir. t1=S60t_1 = \frac{S}{60} değerini yerine yazarsak:
2S=48(S60+t2)  ⟹  2S=08S+48t2  ⟹  12S=48t2  ⟹  S=40t22S = 48 \left(\frac{S}{60} + t_2\right) \implies 2S = 0{}8S + 48t_2 \implies 1{}2S = 48t_2 \implies S = 40t_2
Yani ikinci yarının toplam süresi t2=tA+tB=S40t_2 = t_A + t_B = \frac{S}{40} olarak bulunur.
Ortalama hız bilgisini kullanarak ikinci yarıdaki toplam süreyi yol cinsinden ifade etmek.
3
İkinci yarıdaki hareket denklemini kurma.
İkinci yarıda tren tAt_A süreyle 30 km/sa30\text{ km/sa} hızla, tBt_B süreyle 90 km/sa90\text{ km/sa} hızla gitmiştir. Bu yarıda alınan toplam yol:
S=30tA+90tBS = 30t_A + 90t_B olur.
Hızlar ve süreler yardımıyla ikinci yarıda alınan yolu yazmak.
4
Elde edilen denklemleri eşitleyerek sürelerin oranını hesaplama.
S=40(tA+tB)S = 40(t_A + t_B) ve S=30tA+90tBS = 30t_A + 90t_B denklemlerini birbirine eşitlersek:
40tA+40tB=30tA+90tB  ⟹  10tA=50tB  ⟹  tAtB=540t_A + 40t_B = 30t_A + 90t_B \implies 10t_A = 50t_B \implies \frac{t_A}{t_B} = 5 elde edilir.
Farklı hızlarda geçen sürelerin oranını bulmak.

Key Concept

Ortalama hız, toplam yolun toplam zamana bölünmesiyle hesaplanır. İki bölümden oluşan hareketlerde her bir bölümün aldığı süreler ve yollar arasındaki ilişkiler kurularak denklem çözülür.

Alternative Method

Değer vererek çözme yöntemi: Yolun her bir yarısının mesafesini 240 km240\text{ km} olarak kabul edelim (toplam yol 480 km480\text{ km}). Tüm yolculukta ortalama hız 48 km/sa48\text{ km/sa} olduğundan toplam süre 480/48=10 saat480 / 48 = 10\text{ saat} olmalıdır. Yolun ilk yarısı 240 km240\text{ km} olup saatte 60 km60\text{ km} hızla 240/60=4 saatte240 / 60 = 4\text{ saatte} tamamlanır. Bu durumda yolun ikinci yarısı için kalan süre 10−4=6 saattir10 - 4 = 6\text{ saattir}. İkinci yarıda saatte 30 km30\text{ km} hızla gidilen süreye tAt_A, saatte 90 km90\text{ km} hızla gidilen süreye tBt_B dersek; tA+tB=6t_A + t_B = 6 ve 30tA+90tB=24030t_A + 90t_B = 240 denklemleri elde edilir. Bu denklem sistemi çözüldüğünde tA=5t_A = 5 ve tB=1t_B = 1 bulunur. Buradan oran tAtB=51=5\frac{t_A}{t_B} = \frac{5}{1} = 5 elde edilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Hareket Problemleri

More questions from this topic