Examkin

Question

Difficulty: HardEşkenar Dörtgen

Bir ABCDABCD eşkenar dörtgeninin köşegenleri OO noktasında kesişmektedir. Bu eşkenar dörtgenin çevresi 40 cm40\text{ cm}'dir.

[BC][BC] kenarı üzerinde bir EE noktası ve [CD][CD] kenarı üzerinde bir FF noktası için OE⊥BCOE \perp BC ve OF⊥CDOF \perp CD olacak şekilde doğru parçaları çiziliyor.

∣OE∣=4 cm|OE| = 4\text{ cm} olduğuna göre, OEFOEF üçgeninin alanı kaç cm2\text{cm}^2'dir?

  1. A
    3,2
  2. B
    4,8
  3. 6,4Answer
  4. D
    8
  5. E
    12,8

Answer

OEF üçgeninin alanı 6,4 cm²'dir.
Doğru seçenekte yer alan 6,4 değeri, eşkenar dörtgenin çevresinden yola çıkarak bir kenarının 10 cm bulunması, köşegenlerin kesim noktası O'dan kenarlara çizilen dikmelerin eşitliği ile |OE| = |OF| = 4 cm olması ve eşkenar dörtgenin toplam alanı (80 cm²) üzerinden C açısının sinüsünün 0,8 olarak bulunmasıyla elde edilir. OECF dörtgeninde E ve F açıları 90 derece olduğundan, EOF açısı ile C açısı birbirini 180 dereceye tamamlar. Sinüs değerleri eşit olduğundan, OEF üçgeninin alanı sinüslü alan formülüyle 6,4 cm² olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Eşkenar dörtgenin bir kenar uzunluğunu bulma.
a=10 cma = 10\text{ cm}
Eşkenar dörtgenin tüm kenarları eşit uzunluktadır. Çevresi 40 cm40\text{ cm} olduğuna göre bir kenarı 40/4=10 cm40 / 4 = 10\text{ cm} olur.
2
Köşegenlerin kesişimiyle oluşan dik üçgenleri analiz etme.
∣OF∣=4 cm|OF| = 4\text{ cm}
Eşkenar dörtgende kö��egenler birbirini ortalar ve dik keser. Bu yüzden oluşan 4 dik üçgen birbirine eştir. O noktasından kenarlara indirilen tüm dikmelerin uzunlukları eşit olmalıdır. ∣OE∣=4 cm|OE| = 4\text{ cm} ise ∣OF∣=4 cm|OF| = 4\text{ cm} olur.
3
Eşkenar dörtgenin alanını hesaplama.
Alan(ABCD)=80 cm2\text{Alan}(ABCD) = 80\text{ cm}^2
Kesişim noktası O ile oluşan △OBC\triangle OBC üçgeninin alanı 10×42=20 cm2\frac{10 \times 4}{2} = 20\text{ cm}^2 olur. Dörtgenin toplam alanı bu eş üçgenlerden 4 tanesinin alan��na eşittir: 4×20=80 cm24 \times 20 = 80\text{ cm}^2.
4
Eşkenar dörtgenin iç açısının sinüsünü bulma.
sin⁡(C^)=0,8\sin(\widehat{C}) = 0,8
Eşkenar dörtgenin alanı komşu kenarlarının çarpımı ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımına eşittir: Alan(ABCD)=10×10×sin⁡(C^)=100sin⁡(C^)=80  ⟹  sin⁡(C^)=0,8\text{Alan}(ABCD) = 10 \times 10 \times \sin(\widehat{C}) = 100 \sin(\widehat{C}) = 80 \implies \sin(\widehat{C}) = 0,8.
5
OECFOECF dörtgenindeki açı ilişkisini belirleme.
m(EOF^)=180∘−C^m(\widehat{EOF}) = 180^\circ - \widehat{C} ve sin⁡(m(EOF^))=0,8\sin(m(\widehat{EOF})) = 0,8
OECFOECF dörtgeninde m(OEC^)=m(OFC^)=90∘m(\widehat{OEC}) = m(\widehat{OFC}) = 90^\circ olduğundan karşılıklı açılar toplamı 180∘180^\circ olur. Dolayısıyla birbirini 180∘180^\circ'ye tamamlayan açıların sinüsleri eşittir.
6
OEF üçgeninin alanını sinüslü alan formülü ile hesaplama.
Alan(△OEF)=6,4 cm2\text{Alan}(\triangle OEF) = 6,4\text{ cm}^2
Alan(△OEF)=12×∣OE∣×∣OF∣×sin⁡(m(EOF^))=12×4×4×0,8=6,4 cm2\text{Alan}(\triangle OEF) = \frac{1}{2} \times |OE| \times |OF| \times \sin(m(\widehat{EOF})) = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 \times 0,8 = 6,4\text{ cm}^2.

Key Concept

Eşkenar dörtgende simetri merkezi özellikleri, alan bağınt��ları ve sinüslü alan formülü

Alternative Method

Eşkenar dörtgenin köşegen uzunlukları ee ve ff olsun. Alan(ABCD)=e⋅f2=80\text{Alan}(ABCD) = \frac{e \cdot f}{2} = 80 ve e2+f2=4a2=400e^2 + f^2 = 4a^2 = 400 denklemlerinden köşegenler e=85e = 8\sqrt{5} ve f=45f = 4\sqrt{5} olarak çözülür. Köşegenler yardımıyla oluşan dik üçgenlerdeki trigonometrik ilişkiler kullanılarak sin⁡(C^)\sin(\widehat{C}) değeri ve dolayısıyla OEF üçgeninin alanı hesaplanabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Eşkenar Dörtgen

More questions from this topic