Examkin

Question

Difficulty: MediumSayı Piramitleri ve Üçgensel Dizilimler

33’ün katı olan ardışık pozitif tam sayılar, birinci satırdan başlayarak ve her satırda satır numarası kadar sayı bulunacak şekilde aşağıdaki piramit düzeninde yerleştiriliyor.

369121518 \begin{matrix} & & 3 & & \\ & 6 & & 9 & \\ 12 & & 15 & & 18 \end{matrix}

Buna göre, bu sayı piramidinin 1010. satırında yer alan en büyük sayı kaçtır?

  1. A
    135
  2. B
    138
  3. C
    300
  4. 165Answer
  5. E
    198

Answer

Piramidin 10. satırındaki en büyük sayı 165'tir.
10. satıra kadar olan tüm satırlardaki toplam terim sayısı 1+2+3+...+10=10×112=551+2+3+...+10 = \frac{10 \times 11}{2} = 55 adettir. Sayılar 3'ün katı olan ardışık sayılar şeklinde ilerlediğinden, nn. terim 3n3n formülüyle bulunur. Dolayısıyla, 10. satırdaki en büyük sayı, piramitteki 55. sayı olacaktır. Bu sayı da 3×55=1653 \times 55 = 165 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Piramitteki satırların terim sayılarını inceleyerek 10. satırın sonuna kadar toplam kaç sayı yazıldığını bulma.
1. satırda 1, 2. satırda 2, ..., 10. satırda 10 sayı vardır. Toplam sayı adedi: 1+2+3+⋯+10=10×112=551 + 2 + 3 + \dots + 10 = \frac{10 \times 11}{2} = 55 adettir.
10. satırın en büyük sayısı bu satırın en sağındaki sayıdır. Bu sayı da piramidin başlangıcından itibaren yazılan 55. sayıya karşılık gelir.
2
Kullanılan sayı dizisinin genel terimini belirleme.
Dizi 3,6,9,12,…3, 6, 9, 12, \dots şeklinde 3'ün katı olan sayılardan oluşur. Genel terim an=3na_n = 3n şeklindedir.
Her bir terimin değerini, sırasına göre hesaplayabilmek için dizinin kuralını formülleştirmek gerekir.
3
55. terimin değerini hesaplama.
a55=3×55=165a_{55} = 3 \times 55 = 165.
10. satırın en büyük elemanı olan 55. sayının sayısal değerini bulmak için genel terim formülünde n=55n = 55 yazılır.

Key Concept

Sayı piramitlerinde satır numarası ile terim sayısı arasındaki ilişkiyi kurarak belirli bir adımdaki terimi bulma.

Hints

1
10. satırın sonuna kadar piramit içerisine toplam kaç adet sayı yazıldığını bulmaya çalışın.
2
1. satırda 1, 2. satırda 2, ..., 10. satırda 10 sayı bulunduğundan, 10. satırın en büyük (yani son) sayısı, yazılan 55. sayı olacaktır.
3
Piramitteki sayılar 3, 6, 9, 12... şeklinde 3'ün katları olarak ilerlemektedir. 55. sayıyı bulmak için genel kuralı 3n3n olarak kullanıp n=55n=55 değerini hesaplayın.

Practice More

Benzer mantıkla, 3'ün katı yerine 4'ün katı sayılarla oluşturulan bir piramitte aynı satırdaki sayıların toplamını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Piramidin her satırının en büyük sayısı sırasıyla: 3, 9, 18, 30... şeklindedir. Bu sayı dizisinin ardışık terimleri arasındaki farklar sırasıyla 6, 9, 12... olarak artmaktadır. 1. satırın en büyük sayısı 3 ise, 10. satırın en büyük sayısını bulmak için 3'ün üzerine bu farkları ekleyebiliriz: 3+(6+9+12+⋯+30)=3+3×(2+3+4+⋯+10)=3+3×54=1653 + (6 + 9 + 12 + \dots + 30) = 3 + 3 \times (2 + 3 + 4 + \dots + 10) = 3 + 3 \times 54 = 165 elde edilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Sayı Piramitleri ve Üçgensel Dizilimler

More questions from this topic