Examkin

Question

Difficulty: Very hardSayı Problemleri

Bir tekstil atölyesinde çalışan Aslı, Burak ve Cenk isimli üç terzi, diktikleri gömlekleri paketleyerek kutulara yerleştirmektedir. Bu terzilerin çalışma düzeni ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Aslı her kutuya xx adet, Burak her kutuya yy adet, Cenk ise her kutuya zz adet gömlek koymaktadır. Burada xx, yy ve zz ardışık pozitif tam sayılar olup x<y<zx < y < z ilişkisi vardır.
* Gün sonunda Aslı aa adet kutu, Burak bb adet kutu, Cenk ise cc adet kutu doldurmuştur.
* Terzilerin doldurdukları kutu sayıları arasında a<b<ca < b < c ilişkisi vardır.
* Aslı ve Cenk'in doldurduğu toplam kutu sayısı, Burak'ın doldurduğu kutu sayısının 22 katıdır.
* Üç terzinin g��n sonunda kutulara koyduğu toplam gömlek sayısı 126126'dır.
* Cenk'in kutulara koyduğu toplam gömlek sayısı, Aslı'nın koyduğu toplam gömlek sayısından 4646 fazladır.

Buna göre, Burak'ın doldurduğu kutu sayısı (bb) kaçtır?

  1. A
    6
  2. B
    7
  3. 8Answer
  4. D
    9
  5. E
    10

Answer

Burak'ın doldurduğu kutu sayısı 8'dir.
Doğru seçenekte belirtilen değer olan 8, Aslı, Burak ve Cenk'in kutu sayıları (a,b,ca, b, c) ile kutu başı gömlek sayılarının (x,y,zx, y, z) ardışık ve aritmetik dizi koşullarını sağladığı, toplam gömlek sayısının 126 ve gömlek farkının 46 olduğu denklem sisteminin tek pozitif tam sayı çözümüdür.

Step-by-Step Solution

1
Değişkenler arasındaki ilişkileri belirlemek için ardışık sayı ve aritmetik dizi kurallarını uygulayın.
x,y,zx, y, z ardışık pozitif tam sayılar olduğundan x=y−1x = y - 1 ve z=y+1z = y + 1 olur. a,b,ca, b, c kutu sayıları için a+c=2ba + c = 2b ve a<b<ca < b < c olduğundan a=b−ka = b - k ve c=b+kc = b + k (k≥1k \ge 1 tam sayı) olarak yazılabilir.
Bilinmeyen sayısını azaltmak ve denklemleri basitleştirmek için.
2
Toplam gömlek sayısı olan 126 bilgisini kullanarak ilk denklemi kurun ve sadeleştirin.
a⋅x+b⋅y+c⋅z=126  ⟹  (b−k)(y−1)+b⋅y+(b+k)(y+1)=126  ⟹  3by+2k=126a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z = 126 \implies (b-k)(y-1) + b \cdot y + (b+k)(y+1) = 126 \implies 3by + 2k = 126 elde edilir.
Toplam ürün miktarını veren matematiksel ifadeyi oluşturmak için.
3
Cenk ve Aslı'nın gömlek sayıları farkı olan 46 bilgisini kullanarak ikinci denklemi kurun ve sadeleştirin.
c⋅z−a⋅x=46  ⟹  (b+k)(y+1)−(b−k)(y−1)=46  ⟹  2b+2ky=46  ⟹  b+ky=23c \cdot z - a \cdot x = 46 \implies (b+k)(y+1) - (b-k)(y-1) = 46 \implies 2b + 2ky = 46 \implies b + ky = 23 elde edilir.
İki grubun ürün sayıları farkını veren matematiksel ifadeyi oluşturmak için.
4
Elde edilen 3by+2k=1263by + 2k = 126 ve b+ky=23b + ky = 23 denklemlerini ortak çözerek değişkenlerin tam sayı değerlerini bulun.
İkinci denklemden b=23−kyb = 23 - ky çekilip ilk denklemde yerine yazılırsa: 3(23−ky)y+2k=126  ⟹  69y−3ky2+2k=126  ⟹  k(3y2−2)=69y−126  ⟹  k=69y−1263y2−23(23-ky)y + 2k = 126 \implies 69y - 3ky^2 + 2k = 126 \implies k(3y^2 - 2) = 69y - 126 \implies k = \frac{69y - 126}{3y^2 - 2} elde edilir. y≥2y \ge 2 ve k≥1k \ge 1 pozitif tam sayılar olduğundan bu ifadeyi tam sayı yapan tek değer y=5y = 5 için k=3k = 3 olur. Buradan b=23−3(5)=8b = 23 - 3(5) = 8 bulunur.
Değişkenlerin tam sayı olma ve eşitsizlik koşullarını sağlayan tek çözümü bulmak için.

Key Concept

Çok bilinmeyenli denklem sistemlerinde tam sayı çözümlerinin (Diophantus denklemleri) sınır koşullarıyla bulunması.

Hints

1
Terzilerin kutu sayılarını tek bir değişken (bb) ve ortak fark (kk) cinsinden yazarak işe başlayın.
2
Aslı'nın kutu başı gömlek sayısını y−1y-1, Cenk'inkini ise y+1y+1 olarak alarak toplam gömlek sayısı ve gömlek farkı denklemlerini b,y,kb, y, k cinsinden oluşturun.
3
b+ky=23b + ky = 23 ve 3by+2k=1263by + 2k = 126 denklemlerinde bb değişkenini yalnız bırakıp yerine koyun ve k=69y−1263y2−2k = \frac{69y-126}{3y^2-2} ifadesini tam sayı yapan yy değerlerini inceleyin.

Practice More

Benzer şekilde ardışık tek veya çift sayılar kullanılarak kurulan ve sınır koşullarına dayalı ikinci dereceden bilinmeyenler içeren sayı problemleri çözülebilir.

Alternative Method

Denklem sisteminde b+ky=23b + ky = 23 eşitliğinden bb ve kyky değerlerinin alabileceği sınırlı tam sayı değerleri üzerinden deneme yanılma yapılarak da çözüme ulaşılabilir. Örneğin kyky çarpımı 2323'ten küçük olmalıdır. yy ve kk pozitif tam sayılar olduğundan bu sınır çözümü oldukça daraltır.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Sayı Problemleri

More questions from this topic