Examkin

Question

Difficulty: HardHareket Problemleri

Bir kurye, A kentinden B kentine olan teslimat rotasını üç eşit bölüme ayırmıştır. Kurye;
* Yolun birinci bölümünü saatte sabit 48 km48\text{ km} hızla,
* Yolun ikinci bölümünü saatte sabit v2 kmv_2\text{ km} hızla,
* Yolun üçüncü bölümünü saatte sabit v3 kmv_3\text{ km} hızla
gitmiştir. Kuryenin bu teslimat boyunca tüm yol üzerindeki ortalama hızı saatte 48 km48\text{ km} olmuştur.

Eğer kurye yolun ikinci bölümünü de birinci bölümdeki gibi saatte 48 km48\text{ km} hızla, üçüncü bölümünü ise ikinci bölümdeki gibi saatte v2 kmv_2\text{ km} hızla gitseydi, tüm yol boyunca ortalama hızı saatte 60 km60\text{ km} olacaktı.

Buna göre, kuryenin üçüncü bölümdeki hızı (v3v_3) saatte kaç km\text{km}'dir?

  1. A
    12
  2. B
    20
  3. 30Answer
  4. D
    40
  5. E
    48

Answer

Kuryenin üçüncü bölümdeki hızı saatte 30 km'dir.
Doğru çözümde ortalama hızın genel formülü olan Toplam Yol / Toplam Süre kullanılmıştır. İkinci senaryodaki ortalama hız olan 60 km/sa bilgisinden kuryenin ikinci bölümdeki hızı (v2=120v_2 = 120 km/sa) elde edilmiş, bu değer ilk senaryodaki ortalama hız denklemine yazıldığında ise üçüncü bölümdeki hız (v3=30v_3 = 30 km/sa) hatasız bir şekilde hesaplanmıştır.

Step-by-Step Solution

1
Yolun her bir bölümünün uzunluğunu dd km olarak tanımlayıp, verilen durumlar için ortalama hız denklemlerini oluşturmak.
Birinci durum için: Vort1=3dd48+dv2+dv3=48  ⟹  148+1v2+1v3=348=116V_{\text{ort1}} = \frac{3d}{\frac{d}{48} + \frac{d}{v_2} + \frac{d}{v_3}} = 48 \implies \frac{1}{48} + \frac{1}{v_2} + \frac{1}{v_3} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16} elde edilir.
İkinci durum için: Vort2=3dd48+d48+dv2=60  ⟹  248+1v2=360=120V_{\text{ort2}} = \frac{3d}{\frac{d}{48} + \frac{d}{48} + \frac{d}{v_2}} = 60 \implies \frac{2}{48} + \frac{1}{v_2} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20} elde edilir.
Ortalama hız formülü Toplam Yol/Toplam Zaman\text{Toplam Yol} / \text{Toplam Zaman} olduğundan ve her bölüm için süre t=d/vt = d/v olarak hesaplandığından bu denklemler kurulmalıdır.
2
İkinci durum denkleminden yararlanarak v2v_2 hızını bulmak.
248+1v2=120  ⟹  124+1v2=120  ⟹  1v2=120−124\frac{2}{48} + \frac{1}{v_2} = \frac{1}{20} \implies \frac{1}{24} + \frac{1}{v_2} = \frac{1}{20} \implies \frac{1}{v_2} = \frac{1}{20} - \frac{1}{24}
Paydaları 120120 sayısında eşitleyelim:
1v2=6120−5120=1120  ⟹  v2=120 km/sa\frac{1}{v_2} = \frac{6}{120} - \frac{5}{120} = \frac{1}{120} \implies v_2 = 120\text{ km/sa} bulunur.
İkinci denklem tek bilinmeyenli (v2v_2) hale getirilebildiği için öncelikle bu hızın değerini çözmek gerekir.
3
v2v_2 değerini birinci durumda yerine koyarak v3v_3 hızını hesaplamak.
148+1120+1v3=116  ⟹  1v3=116−148−1120\frac{1}{48} + \frac{1}{120} + \frac{1}{v_3} = \frac{1}{16} \implies \frac{1}{v_3} = \frac{1}{16} - \frac{1}{48} - \frac{1}{120}
Önce 116−148\frac{1}{16} - \frac{1}{48} işlemini yapalım:
348−148=248=124\frac{3}{48} - \frac{1}{48} = \frac{2}{48} = \frac{1}{24}
Şimdi kalan işlemi tamamlayalım:
1v3=124−1120  ⟹  1v3=5120−1120=4120=130  ⟹  v3=30 km/sa\frac{1}{v_3} = \frac{1}{24} - \frac{1}{120} \implies \frac{1}{v_3} = \frac{5}{120} - \frac{1}{120} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30} \implies v_3 = 30\text{ km/sa} bulunur.
Bulunan v2v_2 değerini ilk denklemde yerine yazıp rasyonel işlemleri adım adım takip ederek hedef bilinmeyen olan v3v_3 değerine ulaşılır.

Key Concept

Ortalama Hız (Harmonik Ortalama Uygulaması)

Alternative Method

Yolun tamamına 360 km (ya da her bir bölüme 120 km) değer vererek süreler üzerinden işlem yapılabilir. İkinci durumda toplam yol 360 km ve ortalama hız 60 km/sa ise toplam süre 6 saattir. İlk iki bölümü 48 km/sa hızla giden kurye buralarda 120/48=2.5120/48 = 2.5 saatten toplam 5 saat harcar. Kalan 1 saati üçüncü bölümde harcadığı için ikinci bölümdeki hızı 120/1=120120/1 = 120 km/sa olur. Birinci durumda toplam yol 360 km ve ortalama hız 48 km/sa ise toplam süre 7.5 saattir. İlk iki bölümde geçen süre 120/48+120/120=2.5+1=3.5120/48 + 120/120 = 2.5 + 1 = 3.5 saattir. Geriye kalan 4 saat üçüncü bölümde geçmiştir. Buradan üçüncü bölümdeki hız 120/4=30120/4 = 30 km/sa olarak bulunur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Hareket Problemleri

More questions from this topic