Examkin

Question

Difficulty: Very hardNoktanın Analitik İncelenmesi

Dik koordinat düzleminde, birinci bölgede bulunan ve birer kenarı koordinat eksenleri üzerinde olan bir OABCOABC dikdörtgeni veriliyor. Bu dikdörtgenin köşegenlerinin kesim noktası K(3,9)K(3, 9)'dur.

Dikdörtgenin BB köşesinden geçen ve orijine uzaklığı en büyük olan doğru dd doğrusudur.

Buna göre, dd doğrusu üzerinde bulunan ve AA ile CC noktalarına eşit uzaklıkta olan noktanın koordinatları toplamı kaçtır?

  1. A
    12
  2. B
    16
  3. 32Answer
  4. D
    30
  5. E
    36

Answer

Doğru cevap 32'dir.
B(6,18) noktasından geçen ve orijine en uzak olan doğru, OB'ye dik olan doğrudur. Bu doğrunun denklemi x + 3y = 60'tır. A(6,0) ve C(0,18) noktalarına eşit uzaklıktaki noktalar ise AC'nin orta dikme doğrusu olan 3y - x = 24 üzerindedir. Bu iki doğrunun kesişim noktası P(18,14) olup koordinatları toplamı 32'dir.

Step-by-Step Solution

1
Dikdörtgenin köşelerinin koordinatlarını belirleme
O(0,0) orijin, A(6,0), C(0,18) ve B(6,18) olarak bulunur.
Dikdörtgenin kenarları eksenler üzerinde olduğundan A noktası x-ekseni, C noktası y-ekseni üzerindedir. Köşegenlerin kesim noktası K(3,9) orta nokta olduğundan, koordinatlar ikişer katına çıkarılarak köşeler belirlenir.
2
B noktasından geçen ve orijine uzaklığı en büyük olan doğrunun eğimini bulma
d doğrusunun eğimi m_d = -1/3 olarak bulunur.
Bir noktadan geçen ve orijine en uzak olan doğru, orijin ile bu noktayı birleştiren doğru parçasına (OB) dik olan doğrudur. OB doğrusunun eğimi m_OB = 18/6 = 3 olduğundan, d doğrusunun eğimi m_d = -1/m_OB = -1/3 olur.
3
d doğrusunun denklemini yazma
d doğrusunun denklemi x + 3y = 60 şeklindedir.
B(6,18) noktasından geçen ve eğimi -1/3 olan doğrunun denklemi y - 18 = -1/3(x - 6) formülüyle elde edilir.
4
A ve C noktalarına eşit uzaklıktaki P(x,y) noktasının denklemini kurma
3y - x = 24 denklemi elde edilir.
PA = PC koşulundan (x - 6)^2 + y^2 = x^2 + (y - 18)^2 yazılır. Bu denklem açılıp sadeleştirildiğinde -12x + 36 = -36y + 324 bağıntısı, yani 3y - x = 24 elde edilir.
5
Denklem sistemini çözerek P noktasının koordinatlarını bulma ve toplama
P(18,14) bulunur. Koordinatlar toplamı 18 + 14 = 32'dir.
x + 3y = 60 ve 3y - x = 24 denklemleri taraf tarafa toplandığında 6y = 84 ve y = 14 bulunur. x değeri ise 18 olarak elde edilir.

Key Concept

Noktanın analitik incelenmesi, iki nokta arasındaki uzaklık ve dik doğruların eğimleri ilişkisi.

Hints

1
Dikdörtgenin köşelerinin koordinatlarını bulmak için K(3,9) noktasının köşegenlerin kesim noktası (orta noktası) olduğunu kullanın.
2
B(6,18) noktasından geçen ve orijine uzaklığı en büyük olan doğrunun, OB doğrusuna dik olduğunu hatırlayın ve eğimini bulun.
3
P(x,y) noktasının A(6,0) ve C(0,18) noktalarına olan uzaklıklarının karesini eşitleyerek x ve y arasındaki doğrusal ilişkiyi elde edip d doğrusunun denklemi ile ortak çözün.

Practice More

Benzer şekilde, verilen bir doğrunun eksenleri kestiği noktalar ile orijinin oluşturduğu üçgenin iç teğet çemberinin merkezinin koordinatlarını bulmaya yönelik soruları çözebilirsiniz.

Alternative Method

P(x,y) noktasının A ve C noktalarına eşit uzaklıkta olması, P noktasının [AC] doğru parçasının orta dikme doğrusu üzerinde olduğunu gösterir. [AC]'nin orta noktası M(3,9) ve AC'nin eğimi m_AC = (18-0)/(0-6) = -3'tür. Bu durumda orta dikme doğrusunun eğimi 1/3 olur. M(3,9) noktasından geçen ve eğimi 1/3 olan doğrunun denklemi y - 9 = 1/3(x - 3) yani 3y - x = 24 olarak hızlıca bulunabilir.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Noktanın Analitik İncelenmesi

More questions from this topic