Examkin

Dikdörtgen

2 questions

Question 1Question →

Çevresi 28 cm28\text{ cm} ve kö��egen uzunluğu 10 cm10\text{ cm} olan bir dikdörtgenin alanı kaç santimetrekaredir?

Show answer & explanation

Answer: 48

Answer

Dikdörtgenin alanı 48 santimetrekaredir.
Çevresi 28 cm olan dikdörtgenin kenar uzunlukları toplamı 14 cm'dir. Köşegeni 10 cm olan dikdörtgende kenarlar arasında Pisagor bağıntısı kurulduğunda, bu şartları sağlayan kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm olarak bulunur. Alan ise bu kenarların çarpımı olan 48 santimetrekaredir.

Step-by-Step Solution

1
Çevre uzunluğu formülünü kullanarak dikdörtgenin kenar uzunluklarının toplamını bulmak.
Kenar uzunlukları aa ve bb ise, 2(a+b)=28  ⟹  a+b=14 cm2(a+b) = 28 \implies a+b = 14\text{ cm} olur.
Dikdörtgenin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamına eşittir.
2
Köşegen uzunluğunu veren Pisagor bağıntısını yazmak.
a2+b2=102  ⟹  a2+b2=100a^2 + b^2 = 10^2 \implies a^2 + b^2 = 100 olur.
Dikdörtgende komşu iki kenar ve köşegen bir dik üçgen oluşturur.
3
Tam kare özdeşliğini kullanarak veya değer vererek alanı hesaplamak.
(a+b)2=a2+b2+2ab  ⟹  142=100+2ab  ⟹  196=100+2ab  ⟹  2ab=96  ⟹  ab=48 cm2(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \implies 14^2 = 100 + 2ab \implies 196 = 100 + 2ab \implies 2ab = 96 \implies ab = 48\text{ cm}^2 bulunur. (Alternatif olarak, toplamları 14 ve kareleri toplamı 100 olan sayılar 6 ve 8'dir. Alan: 6×8=48 cm26 \times 8 = 48\text{ cm}^2)
Dikdörtgenin alanı, farklı iki kenar uzunluğunun çarpımına (a⋅ba \cdot b) eşittir.

Key Concept

Dikdörtgende çevre, köşegen ve alan bağıntıları
Question 2Question →

Bir ABCDABCD dikdörtgeninde EE noktası [BC][BC] kenarı üzerindedir. [AE]⊥[ED][AE] \perp [ED], ∣AB∣=6 cm|AB| = 6\text{ cm} ve ∣BC∣=13 cm|BC| = 13\text{ cm} olduğuna göre, AEDAED üçgeninin alanı kaç santimetrekaredir?

Show answer & explanation

Answer: 39

Answer

Dikdörtgenin alan özelliklerinden veya benzerlik yardımıyla hesaplanan üçgen alanı 39'dur.
Dikdörtgenin paralel kenarları arasındaki yükseklik sabit olduğundan, tabanı dikdörtgenin bir kenarı (AD=13 cmAD = 13\text{ cm}) ve tepe noktası karşı kenar üzerinde olan AEDAED üçgeninin yüksekliği dikdörtgenin kısa kenarına (AB=6 cmAB = 6\text{ cm}) eşittir. Üçgenin alanı 13×62=39 cm2\frac{13 \times 6}{2} = 39\text{ cm}^2 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Dikdörtgenin karşılıklı kenar uzunluklarının eşit olduğunu belirleme.
∣AD∣=∣BC∣=13 cm|AD| = |BC| = 13\text{ cm} ve ∣CD∣=∣AB∣=6 cm|CD| = |AB| = 6\text{ cm} olur.
Dikdörtgende karşılıklı kenarlar birbirine eşittir.
2
EE noktası [BC][BC] üzerinde olduğu için AEDAED üçgeninin yüksekliğini belirleme.
AEDAED üçgeninin [AD][AD] tabanına ait yüksekliği, paralel olan ADAD ve BCBC kenarları arasındaki uzaklığa, yani dikdörtgenin kısa kenarı olan ∣AB∣=6 cm|AB| = 6\text{ cm} uzunluğuna eşittir.
Bir üçgenin köşesi, tabanına paralel bir doğru üzerindeyse, o köşeden tabana indirilen dikme (yükseklik) paralel doğrular arasındaki sabit uzaklığa eşittir.
3
AEDAED üçgeninin alanını hesaplama.
Alan(AED)=∣AD∣⋅h2=13⋅62=39 cm2\text{Alan}(AED) = \frac{|AD| \cdot h}{2} = \frac{13 \cdot 6}{2} = 39\text{ cm}^2 bulunur.
Üçgenin alanı, taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır.

Key Concept

Dikdörtgende paralel doğrular arasındaki üçgenin alanı ve benzerlik ilişkileri

Alternative Method

Alternatif olarak, ∣BE∣=x|BE| = x ve ∣EC∣=13−x|EC| = 13-x diyerek ABE ve ECD dik üçgenleri arasındaki benzerliği kullanabiliriz. Benzerlikten x^2 - 13x + 36 = 0 elde edilir. Bu denklemin kökleri x = 4 ve x = 9'dur. x = 4 için Pisagor bağıntısı ile |AE| = 2√13 cm ve |ED| = 3√13 cm bulunur. AED dik üçgen olduğundan alanı (|AE| * |ED|) / 2 = (2√13 * 3√13) / 2 = 39 cm² olarak hesaplanır.
Estimated Time:1m 30s
Dikdörtgen Practice Questions — ALES | Examkin