Examkin

İkizkenar Üçgen

2 questions

Question 1Question →

Dar açılı bir ABCABC ikizkenar üçgeninde ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC|'dir. BB köşesinden ACAC kenarına çizilen dikme ile CC köşesinden ABAB kenarına çizilen dikme KK noktasında kesişmektedir. KK noktasının ABAB kenarına olan en kısa uzaklığı 3 cm3\text{ cm} ve ∣BC∣=45 cm|BC| = 4\sqrt{5}\text{ cm} olduğuna göre, ABCABC üçgeninin çevresi kaç cm\text{cm}'dir?

Show answer & explanation

Answer: 20+4520 + 4\sqrt{5}

Answer

20+45 cm20 + 4\sqrt{5}\text{ cm} olan çevre uzunluğu
ABCABC ikizkenar üçgeninin simetrik yapısı sayesinde diklik merkezi olan noktanın köşelere olan uzaklıkları eşit olup 5 cm bulunur. Buradan dik üçgenlerdeki Pisagor bağıntıları sırasıyla uygulanarak eşit kenar uzunlukları 10 cm elde edilir. Çevre bu iki eşit kenar ile 4\sqrt{5} cm tabanının toplamıyla 20 + 4\sqrt{5} cm olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
KK noktasının ABAB doğrusuna olan en kısa uzaklığı belirlenir.
∣KE∣=3 cm|KE| = 3\text{ cm}
CC köşesinden ABAB'ye çizilen dikme CECE olduğundan ve KK bu dikme üzerinde bulunduğundan, KK'nin ABAB'ye en kısa uzaklığı ∣KE∣|KE| uzunluğuna eşittir.
2
ABCABC ikizkenar üçgeninde diklik merkezinin simetri özelliği kullanılır.
∣KB∣=∣KC∣=x|KB| = |KC| = x
∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| ikizkenarlık durumunda, köşelerden çizilen yüksekliklerin kesişim noktası olan diklik merkezinin köşelere olan uzaklıkları simetriktir.
3
KBEKBE dik üçgeninde Pisagor bağınt��sı uygulanır.
∣BE∣2=x2−9|BE|^2 = x^2 - 9
m(KEB^)=90∘m(\widehat{KEB}) = 90^\circ olduğundan ∣BE∣2+∣KE∣2=∣KB∣2|BE|^2 + |KE|^2 = |KB|^2 eşitliği sağlanır.
4
BECBEC dik üçgeninde Pisagor bağıntısı kurularak xx değeri çözülür.
x2+3x−40=0x^2 + 3x - 40 = 0 denklemi elde edilerek x=5 cmx = 5\text{ cm} bulunur.
∣CE∣=x+3|CE| = x + 3 ve ∣BC∣=45 cm|BC| = 4\sqrt{5}\text{ cm} değerleri ile ∣BE∣2+∣CE∣2=∣BC∣2|BE|^2 + |CE|^2 = |BC|^2 Pisagor bağıntısı çözülür.
5
∣BE∣|BE| ve ∣CE∣|CE| uzunlukları hesaplanır.
∣BE∣=4 cm|BE| = 4\text{ cm} ve ∣CE∣=8 cm|CE| = 8\text{ cm}
x=5x = 5 değeri yerine yazılarak ∣BE∣=52−9=4|BE| = \sqrt{5^2 - 9} = 4 ve ∣CE∣=5+3=8|CE| = 5 + 3 = 8 olarak bulunur.
6
AECAEC dik üçgeninde Pisagor bağıntısı kullanılarak ∣AB∣|AB| kenar uzunluğu aranır.
∣AB∣=∣AC∣=10 cm|AB| = |AC| = 10\text{ cm}
∣AE∣=y|AE| = y ve ∣AC∣=y+4|AC| = y + 4 için y2+82=(y+4)2y^2 + 8^2 = (y+4)^2 denklemi çözülerek y=6y = 6 ve buradan ∣AB∣=10|AB| = 10 bulunur.
7
ABCABC üçgeninin çevre uzunluğu toplanır.
20+45 cm20 + 4\sqrt{5}\text{ cm}
Çevre =∣AB∣+∣AC∣+∣BC∣=10+10+45= |AB| + |AC| + |BC| = 10 + 10 + 4\sqrt{5} toplamıyla hesaplanır.

Key Concept

İkizkenar üçgende simetrik yükseklik özellikleri ve diklik merkezinin kenarlara olan uzaklık ilişkileri yardımıyla Pisagor bağıntısı uygulamaları
Question 2Question →

Bir ABCABC ikizkenar üçgeninde ∣AB∣=∣AC∣=13 cm|AB| = |AC| = 13\text{ cm} ve ∣BC∣=10 cm|BC| = 10\text{ cm}'dir. [BC][BC] kenarının CC köşesi yönündeki uzantısı üzerinde bir DD noktası ∣CD∣=11 cm|CD| = 11\text{ cm} olacak şekilde işaretleniyor.

Buna göre, AA ve DD noktaları arasındaki uzaklık (∣AD∣|AD|) kaç cm'dir?

Show answer & explanation

Answer: 2020

Answer

İkizkenar üçgende tabana indirilen dikme tabanı ortalar. 5-12-13 özel üçgeninden yükseklik 12 cm bulunur. Uzantı ile birlikte oluşan yeni dik üçgenin dik kenarları 12 cm ve 16 cm olduğundan, hipotenüs (12-16-20 özel üçgeni gereği) 20 cm olarak hesaplanır.
İkizkenar üçgenin tepe noktasından tabana çizilen dikmenin tabanı iki eş parçaya bölmesi kuralından |HC| = 5 cm bulunur. 5-12-13 özel üçgeninden yükseklik |AH| = 12 cm olarak elde edilir. D noktası uzantıda olduğundan |HD| = 5 + 11 = 16 cm olur. Son olarak AHD dik üçgeninde Pisagor bağıntısı kullanılarak |AD| = 20 cm bulunur.

Step-by-Step Solution

1
A köşesinden BC tabanına AH yüksekliği indirilir.
|BH| = |HC| = 5 cm
İkizkenar üçgende tabana çizilen yükseklik aynı zamanda kenarortaydır.
2
AHC dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanır.
|AH| = 12 cm
5-12-13 özel dik üçgeni bağıntısından veya |AH|^2 + 5^2 = 13^2 denkleminden yükseklik bulunur.
3
H, C ve D doğrusal noktaları arasındaki toplam uzaklık (HD) hesaplanır.
|HD| = 16 cm
D noktası uzantı üzerinde olduğundan |HD| = |HC| + |CD| = 5 + 11 = 16 cm olur.
4
AHD dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanarak AD uzunluğu bulunur.
|AD| = 20 cm
Kenarları 12 cm ve 16 cm olan dik üçgende hipotenüs 3-4-5 üçgeninin 4 katı olan 12-16-20 özel üçgeninden 20 cm olarak hesaplanır.

Key Concept

İkizkenar üçgende tabana çizilen yüksekliğin tabanı iki eşit parçaya bölmesi özelliği ve dik üçgende Pisagor bağıntısının uygulanması.
Estimated Time:1m 30s
İkizkenar Üçgen Practice Questions — ALES | Examkin