Permütasyon
4 questions
Question 1Question →
Bir kitaplıkta yan yana dizilecek olan 4 farklı matematik ve 1 fizik kitabı bulunmaktadır. Fizik kitabının sıranın en başında veya en sonunda yer alması koşuluyla, bu 5 kitap raf üzerinde yan yana kaç farklı şekilde dizilebilir?
10
24
48
12
120
Show answer & explanation
Answer: 48
Answer
Kitapların belirtilen koşula uygun olarak yan yana dizilme sayısı 48'dir.
Fizik kitabının yerleşebileceği en baş ve en son olmak üzere 2 farklı konum seçeneği vardır. Kalan 4 adet matematik kitabı ise geriye kalan 4 boş yere 4!=24 farklı şekilde yerleştirilebilir. Bu iki bağımsız durumun çarpımı veya toplamı bize 2×24=48 sonucunu verir.
Step-by-Step Solution
1
Fizik kitabının bulunabileceği konumları belirleme
Fizik kitabı sıranın en başında ya da en sonunda olmak ��zere 2 farklı konumda bulunabilir.
Soruda verilen kısıta göre fizik kitabının ya en başta ya da en sonda olması gerekmektedir.
2
Geriye kalan matematik kitaplarının kendi aralarındaki sıralanışlarını hesaplama
Geriye kalan 4 farklı matematik kitabı, kalan 4 yere 4!=24 farklı şekilde dizilebilir.
Kalan nesnelerin sıraya dizilim sayısı permütasyon kuralı gereği faktöriyel ile hesaplanır.
3
Tüm durumlar için toplam dizilim sayısını bulma
Fizik kitabının başta olduğu 24 durum ile sonda olduğu 24 durum toplanır: 24+24=48 farklı dizilim elde edilir.
Bu iki durum ayrık ve birbirini engellemeyen durumlardır.
Key Concept
Kısıtlı elemanların yerleşim durumlarına göre permütasyon (sıralama) hesabı.
Alternative Method
Fizik kitabının konumu için 2 seçenek vardır (1. sıra veya 5. sıra). Geriye kalan 4 matematik kitabı ise P(4,4)=4!=24 farklı şekilde sıralanır. Çarpma yoluyla sayma kuralına göre toplam sıralama sayısı: 2×24=48 olur.
Estimated Time:45s
Question 2Question →
3 evli çift, yan yana bulunan 6 koltuğa yan yana oturacaktır. Her evli çiftin eşleri yan yana olmak şartıyla, hiçbir iki kadının yan yana gelmediği kaç farklı oturma düzeni vardır?
12
18
24
36
48
Show answer & explanation
Answer: 24
Answer
24
Doğru cevap olan yirmi dört değeri; 3 çiftin kendi aralarındaki 3!=6 farklı sıralaması ile hiçbir iki kadının yan yana gelmediği 4 geçerli cinsiyet diziliminin çarpımıyla elde edilir (6×4=24).
Step-by-Step Solution
1
Her evli çifti birer grup olarak ele alalım ve bu 3 grubun kendi aralarındaki sıralama sayısını hesaplayalım.
3!=6 farklı sıralama
Eşlerin yan yana oturması istendiğinden her çift tek bir eleman gibi hareket eder.
2
Kadınları K, erkekleri E ile göstererek her grubun kendi içindeki cinsiyet sıralamasını inceleyelim.
Her grup için 2 seçenek (KE veya EK)
Her çift kendi içinde 2 farklı şekilde sıralanabilir.
3
Hiçbir iki kadının yan yana gelmeme koşuluna göre olası 8 cinsiyet dizilimini (23=8) filtreleyelim. İki kadının yan yana gelmesi ancak bir grubun EK şeklinde bitip ardındaki grubun KE şeklinde başlamasıyla (...EK, KE...) mümkündür.
4 geçerli dizilim: (KE, KE, KE), (KE, KE, EK), (KE, EK, EK), (EK, EK, EK)
EK-KE ardışıklığı içeren diğer 4 dizilimde (örneğin KE, EK, KE) iki kadın yan yana gelmiş olur.
4
Geçerli cinsiyet dizilim sayısı ile grupların kendi aralarındaki sıralama sayısını çarparak toplam oturma düzeni sayısını bulalım.
4×3!=4×6=24
Her geçerli cinsiyet dizilimi için çiftler kendi aralarında 3! farklı şekilde sıralanabilir.
Key Concept
Koşullu permütasyon ve gruplama yöntemi
Hints
1
Her çifti tek bir eleman gibi düşünerek önce 3 grubun kendi arasındaki sıralanışını (3!) bulun.
2
Her çiftin kendi içindeki dizilimi (KE veya EK) için 8 olası durumdan hangilerinde iki kadının yan yana geldiğini analiz edin.
3
İki kadının yan yana gelmesi sadece bir grubun EK (Erkek-Kadın) ile bitip sonraki grubun KE (Kadın-Erkek) ile başlaması durumunda gerçekleşir. Bu geçişi içermeyen durumları sayın.
Practice More
Benzer mantıkla, 4 evli çiftin aynı kurallarla yan yana dizilmiş 8 koltuğa kaç farklı şekilde oturabileceğini hesaplayabilirsiniz.
Alternative Method
Tüm olası oturma düzenlerinin sayısından (3!×23=48), en az iki kadının yan yana oturduğu istenmeyen durumların sayısını çıkararak da sonuca ulaşabilirsiniz.
Estimated Time:2m 0s
Question 3Question →
Bir şirketin toplantı salonundaki yan yana duran 7 koltuğa, 3 yönetici ve 4 uzman oturacaktır.
Yöneticilerin herhangi ikisinin yan yana oturmaması koşuluyla bu 7 kişi koltuklara kaç farklı şekilde oturabilir?
240
720
1440
144
5040
Show answer & explanation
Answer: 1440
Answer
Doğru cevap 1440 seçeneğidir.
Doğru yanıt olan 1440 değerine ulaşmak için, yan yana oturmama kısıtlaması olan yöneticiler yerine kısıtlaması olmayan uzmanlar yerleştirilir. 4 uzman 4!=24 farklı şekilde sıralanır. Bu uzmanların oluşturduğu 5 boşluğa 3 yönetici P(5,3)=60 farklı şekilde oturabilir. Çarpma kuralı gereği toplam durum sayısı 24×60=1440 olur.
Step-by-Step Solution
1
Öncelikle kısıtlaması olmayan uzmanların koltuklara sıralanma sayısı hesaplanır.
4!=24 farklı s��ralama elde edilir.
Uzmanlar kendi aralarında serbestçe yer değiştirebilirler.
2
Uzmanların arasında ve uç kısımlarında oluşan boşluklar belirlenir.
4 uzman yan yana dizildiğinde aralarında ve uçlarda toplam 5 boşluk oluşur.
Yöneticilerin yan yana gelmemesi için bu boşluklara oturmaları gerekir.
3
3 yöneticinin bu 5 boşluğa kaç farklı şekilde oturabileceği hesaplanır.
P(5,3)=5×4×3=60 farklı yerleşim elde edilir.
Yöneticiler farklı kişiler olduğundan yer seçiminin yanında kendi aralarındaki sıralama da önemlidir.
4
Bulunan bu iki durumun sayısı çarpılarak toplam oturma düzeni sayısı hesaplanır.
24×60=1440 farklı şekilde oturulabilir.
Çarpma yoluyla sayma kuralı uyarınca bağımsız durumların sayıları çarpılır.
Key Concept
Kısıtlı permütasyon problemlerinde boşluk yöntemi kullanılarak yan yana gelmesi istenmeyen elemanların yerleşimi hesaplanır.
Question 4Question →
Bir sanat galerisinde yan yana bulunan 5 boş duvara 3 farklı modern ve 2 farklı klasik tablo asılacaktır. Klasik tabloların yan yana gelmemesi şartıyla, bu tablolar duvarlara kaç farklı şekilde asılabilir?
36
48
72
96
120
Show answer & explanation
Answer: 72
Answer
Klasik tabloların yan yana gelmediği durumların sayısı 72'dir.
Klasik tabloların yan yana gelmediği durumların sayısı, tüm dizilimlerin sayısından (120) klasik tabloların yan yana olduğu dizilimlerin sayısının (48) çıkarılmasıyla 72 olarak bulunur.
Step-by-Step Solution
1
Tüm olası dizilimlerin sayısını hesaplayın.
5 farklı tablonun 5 duvara herhangi bir koşul olmadan asılma sayısı 5!=120 olur.
Koşulsuz tüm durumları bulup istenmeyen durumları çıkarmak (tümleyen yöntemi) kolaylık sağlar.
2
Klasik tabloların yan yana olduğu durumların sayısını hesaplayın.
2 klasik tabloyu tek bir paket (1 tablo) gibi düşünelim. Bu durumda 3 modern tablo ve 1 paket olmak üzere toplam 4 nesne vardır. Bu nesneler 4!=24 farklı şekilde sıralanır. Paket içindeki 2 klasik tablo da kendi arasında 2!=2 farklı şekilde yer değiştirebilir. Dolayısıyla klasik tabloların yan yana olduğu durumların sayısı 24×2=48 olur.
İstenmeyen durum, klasik tabloların yan yana olması durumudur.
3
İstenen durumu bulmak için tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarın.
120−48=72 farklı şekilde asılabilir.
Tüm durumlardan klasik tabloların yan yana olduğu durumlar çıkarıldığında yan yana olmadığı durumlar elde edilir.
Key Concept
Permütasyon
Hints
1
Tüm olası dizilimlerin sayısından, klasik tabloların yan yana geldiği istenmeyen durumları çıkarmayı deneyebilirsiniz.
Practice More
Benzer şekilde 4 farklı matematik ve 3 farklı fizik kitabının yan yana dizileceği ve fizik kitaplarının yan yana gelmeyeceği durum sayısını hesaplayabilirsiniz.
Alternative Method
Modern tabloları yerleştirdikten sonra aralarında ve uçlarında oluşan boşluklara klasik tabloları yerleştirme (boşluk yöntemi) metodunu da kullanabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s