Tekrarlı Permütasyon Practice Questions — ALES

Question 1Question →

$KELEBEK$ kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek elde edilen anlamlı ya da anlamsız $7$ harfli kelimelerin kaç tanesinde $E$ harfinin hemen ard��ndan $L$ harfi gelmez?

180

240

300

330

360

Show answer & explanation

Answer: 240

Answer

E harfinin hemen ardından L harfinin gelmediği kelime sayısı 240'tır.

Tüm olası 7 harfli kelime dizilimlerinin sayısı tekrarlı permütasyon ile 420 olarak bulunur. E harfinin hemen ardından L harfinin geldiği durumları bulmak için 'EL' harfleri tek bir grup olarak bağlanır; bu durumda dizilebilecek nesneler 2 adet K, 2 adet E, 1 adet B ve 1 adet 'EL' grubu olmak üzere 6 tanedir ve dizilim sayısı 180'dir. Tüm durumlardan (420) bu istenmeyen durum (180) çıkarıldığında geriye kalan 240 dizilimde E harfinden hemen sonra L harfi gelmez. Bu nedenle 240 sayısı doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

KELEBEK

kelimesindeki harfleri ve tekrar sayılarını belirleyerek oluşturulabilecek tüm 7 harfli kelimelerin sayısını hesaplamak.

Kelime 7 harflidir. Harflerin dağılımı: K harfi 2 adet, E harfi 3 adet, L harfi 1 adet, B harfi 1 adettir. Tüm durumların sayısı:

\frac{7!}{2! \times 3!} = \frac{5040}{2 \times 6} = 420

olur.

Harflerin kendi aralarındaki yer değişimlerinin toplam sayısını tekrarl�� permütasyon formülüyle bulmamız gerekir.

2

E harfinin hemen ardından L harfinin geldiği (yani 'EL' yan yana olan) durumların say��sını hesaplamak.

'EL' harflerini tek bir paket (blok) olarak kabul ederiz. Geriye kalan harfler: K, K, E, E, B ve (EL) bloğudur. Toplam nesne sayısı 6 olur. Bu nesnelerden K harfi 2 kez, E harfi 2 kez tekrarlamaktadır. Bu durumdaki dizilim sayısı:

\frac{6!}{2! \times 2!} = \frac{720}{4} = 180

olur.

İstenmeyen durumları (E'den hemen sonra L gelen kelimeleri) tek bir eleman gibi düşünerek tüm durumların içindeki payını hesaplarız.

3

Tüm olası kelime sayısından, istenmeyen durumların sayısını çıkarmak.

420 - 180 = 240

bulunur.

Tüm durumlardan istenmeyen durumlar çıkarıldığında geriye yalnızca E harfinin hemen ardından L harfinin gelmediği dizilimler kalır.

Key Concept

Tekrarlı Permütasyon ve Tüm Durumlardan İstenmeyen Durumların Çıkarılması Yöntemi

Estimated Time:2m 0s

Question 2Question →

Bir süsleme için kullanılacak özdeş $3$ sarı ve özdeş $2$ kırmızı balon, düz bir ipe yan yana asılacaktır.

Buna göre, bu balonlar ip üzerinde yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?

10

120

20

60

12

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Balonlar ip üzerinde yan yana 10 farklı şekilde sıralanabilir.

Doğru cevap 10'dur. Toplam 5 balonun (3 sarı ve 2 kırmızı) yan yana sıralanma sayısı, özdeş balonların kendi aralarındaki yer değiştirmeleri durumu değiştirmeyeceğinden tekrarlı permütasyon formülüyle hesaplanır. Formül

\frac{5!}{3! \cdot 2!}

şeklindedir. Buradan hesaplama yapıldığında

\frac{120}{6 \cdot 2} = 10

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Toplam nesne (balon) sayısını belirleme

Toplam

3 + 2 = 5

balon vardır.

Sıralanacak tüm elemanların toplam sayısını bulmamız gerekir.

2

Özdeş (tekrar eden) nesne sayılarını belirleme

Sarı balonlar

3

kez, kırmızı balonlar ise

2

kez tekrar etmektedir.

Aynı renkteki balonlar özdeş olduğu için kendi aralarındaki yer değişimleri farklı bir sıralama oluşturmaz.

3

Tekrarlı permütasyon formülünü uygulayarak farklı sıralama sayısını hesaplama

\frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10

Toplam eleman sayısının faktöriyeli, tekrar eden eleman sayılarının faktöriyellerinin çarpımına bölünür.

Key Concept

Tekrarlı permütasyon, bazı elemanları özdeş olan bir kümenin elemanlarının farklı sıralanışlarının sayısını bulmak için kullanılır. Toplam

n

elemandan

n_1, n_2, \dots, n_r

tanesi kendi aralarında özdeş ise sıralama sayısı

\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \dots n_r!}

formülüyle bulunur.

Question 3Question →

$MASAL$ kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek $5$ harfli anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir?

10

24

30

60

120

Show answer & explanation

Answer: $60$

Answer

MASAL kelimesindeki harfler yer değiştirilerek 60 farklı kelime yazılabilir.

MASAL kelimesinde toplam

5

harf bulunur. Bu harflerden

A

harfi

2

defa tekrar ederken,

M

,

S

ve

L

harfleri birer defa bulunur. Tekrarlı permütasyon formülü gereği tüm harflerin sıralanma sayısı olan

5!

, tekrar eden

A

harflerinin kendi aralarındaki sıralanma sayısı olan

2!

değerine bölünür. Buradan

\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Kelimenin toplam harf sayısını ve tekrar eden harfleri belirleme

MASAL kelimesinde toplam

5

harf vardır. Bu harflerden

A

harfi

2

kez tekrar etmektedir, diğer harfler (

M

,

S

,

L

) ise birer kez bulunmaktadır.

Tekrarlı permütasyon uygulayabilmek için toplam eleman sayısı ve her bir elemanın tekrar sıklığı bilinmelidir.

2

Tekrarlı permütasyon formülünü uygulama

\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60

Özdeş elemanların kendi aralarındaki yer değişimleri yeni bir kelime oluşturmadığı için toplam permütasyon sayısı, tekrar eden harflerin faktöriyel değerine bölünür.

Key Concept

Özdeş elemanların sıralanmasında tekrarlı permütasyon formülü kullanılır.

n

elemanın

n_1, n_2, \dots, n_r

tanesi özdeş ise bu elemanların farklı dizilişlerinin sayısı

\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \dots n_r!}

formülüyle hesaplanır.

Hints

1

Kelimenin içindeki harflerin toplam sayısını ve hangi harflerin kaçar kez tekrar ettiğini bulun.

2

Tekrarlanan elemanların sıralamayı değiştirmeyeceğini hatırlayarak, genel sıralama sayısını tekrar eden elemanların faktöriyeline bölün.

Practice More

İçinde birden fazla harfin tekrar ettiği (örneğin 'MAKAS' kelimesi gibi) durumlar için de benzer yöntemi uygulayarak kendinizi test edebilirsiniz.

Alternative Method

Öncelikle benzersiz harfleri (

M

,

S

,

L

) ve iki adet özdeş

A

harfini yerleştirmek için basamakları düşünebiliriz.

5

boş kutudan

2

tanesini

A

harfleri için seçeriz:

\binom{5}{2} = 10

durum. Kalan

3

boş kutuya ise farklı olan

M

,

S

,

L

harflerini sıralarız:

3! = 6

durum. Toplam durum sayısı

10 \times 6 = 60

olur.

Estimated Time:45s

Question 4Question →

$MAKARA$ kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek 6 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir?

720

360

120

240

20

Show answer & explanation

Answer: 120

Answer

120

Toplam 6 harf içeren kelimede 'A' harfi 3 kez tekrarlamaktadır. Tekrarlı permütasyon gereği tüm dizilimlerin sayısı 6! değerinin tekrar sayısı olan 3!'e bölünmesiyle hesaplanır. Bu işlem sonucunda 120 farklı dizilim elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Kelimenin toplam harf sayısını ve tekrar eden harfleri belirleme.

MAKARA

kelimesinde toplam 6 harf vardır. Bu harflerden 'A' harfi 3 kez tekrar etmektedir.

Tekrarlı permütasyon formülünü uygulamak için toplam eleman sayısı ve her bir tekrar eden elemanın sıklığı bilinmelidir.

2

Tekrarlı permütasyon formülünü kurma.

\frac{6!}{3!}

ifadesi elde edilir.

Toplam

n

elemanlı bir kümede tekrar eden eleman sayıları

n_1, n_2, ...

ise farklı dizilim sayısı

\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot ...}

formülüyle bulunur.

3

Matematiksel hesabı gerçekleştirme.

\frac{6!}{3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120

bulunur.

Pay kısmındaki 6! ifadesi, paydadaki 3! ile sadeleştirilerek işlem kolayca tamamlanır.

Key Concept

Tekrarlı Permütasyon

Estimated Time:1m 0s

Question 5Question →

Bir kutuda bulunan özdeş kartların 2 tanesinin üzerinde $4$ , 3 tanesinin üzerinde $7$ ve 2 tanesinin üzerinde $9$ rakamı yazılıdır. Bu kartların tamamı yan yana dizilerek 7 basamaklı sayılar oluşturulacaktır.

Buna göre, bu kartlar kullanılarak kaç farklı 7 basamaklı çift sayı oluşturulabilir?

30

60

120

210

420

Show answer & explanation

Answer: 60

Answer

Kartlar kullanılarak 60 farklı çift sayı oluşturulabilir.

Çift sayı oluşturabilmek amacıyla birler basamağına tek seçenek olan 4 rakamlarından biri sabitlenir. Kalan 6 basamağa ise geriye kalan bir adet 4, üç adet 7 ve iki adet 9 rakamları tekrarlı permütasyon formülüyle sıralanır. Bu işlem sonucunda 6! / (3! * 2!) = 60 farklı dizilim elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Sayının çift olması için birler basamağına yerleştirilmesi gereken rakamı belirleme

Birler basamağına bir adet

4

rakamı yerleştirilir.

Oluşturulacak sayının çift sayı olabilmesi için birler basamağındaki rakamın çift olması gerekir. Kartlar üzerindeki rakamlar (

4

,

7

,

9

) arasında tek çift rakam

4

'tür.

2

Geriye kalan basamaklar için kullanılabilir durumda olan rakamları tespit etme

Geriye kalan rakamlar: bir adet

4

, üç adet

7

ve iki adet

9

(toplam 6 rakam).

Başlangıçta iki adet

4

rakamı vardı. Bunlardan biri birler basamağında sabitlendiği için geriye dizilmesi gereken bir adet

4

rakamı kalmıştır.

3

Kalan 6 rakamın kendi aralarındaki dizilim sayısını tekrarlı permütasyon ile hesaplama

\frac{6!}{1! \times 3! \times 2!} = \frac{720}{1 \times 6 \times 2} = 60

Dizilecek 6 rakam içinde

7

rakamı 3 kez,

9

rakamı ise 2 kez tekrar etmektedir. Bu nedenle toplam permütasyon sayısı, tekrar sayılarına ait fakt��riyellerin çarpımına bölünür.

Key Concept

Tekrarlı Permütasyon

Hints

1

Bir sayının çift olması birler basamağına bağlıdır. Kutudaki kartlardan hangilerinin birler basamağına gelebileceğini belirleyin.

2

Birler basamağına bir adet 4 rakamını koyduktan sonra, kalan 6 basamak için hangi kartların elinizde kaldığını yazın ve bunların kaçar kez tekrar ettiğini bulun.

3

Geriye kalan rakamlar bir tane 4, üç tane 7 ve iki tane 9'dur. Bu 6 rakamın dizilimini tekrarlı permütasyon formülünü kullanarak

\frac{6!}{1! \times 3! \times 2!}

şeklinde hesaplayabilirsiniz.

Alternative Method

Kalan 6 basamaktaki yerleri seçme (kombinasyon) yöntemiyle de çözebiliriz. 6 basamaktan 3 tanesini 7 rakamları için

C(6,3) = 20

farklı şekilde, kalan 3 basamaktan 2 tanesini 9 rakamları için

C(3,2) = 3

farklı şekilde ve son kalan 1 basamağı ise kalan tek 4 rakamı için

C(1,1) = 1

farklı şekilde seçebiliriz. Çarpım kuralı gereğince

20 \times 3 \times 1 = 60

farklı dizilim elde edilir.

Estimated Time:1m 30s

Tekrarlı Permütasyon

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method