Examkin

Question

Difficulty: HardÜslü İfadeler

12x=2712^x = 27 ve 3y=163^y = 16 eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, x⋅(y+2)x \cdot (y + 2) ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    3
  2. B
    4
  3. 6Answer
  4. D
    9
  5. E
    12

Answer

İfadenin doğru değeri 6'dır.
Verilen 12x=2712^x=27 eşitliği asal çarpanlarına ayrılarak düzenlendiğinde 22x=33−x2^{2x} = 3^{3-x} elde edilir. Diğer verilen 3y=163^y=16 eşitliği ise 24=3y2^4 = 3^y şeklinde yazılır. Üslü sayılarda tabanları aynı olan iki eşitlikte üslerin oranı sabittir kuralı gereği, 2'nin üsleri ile 3'ün üsleri oranlanır: 2x4=3−xy\frac{2x}{4} = \frac{3-x}{y}. Bu orantıdan içler dışlar çarpımı yapılarak 2xy=12−4x2xy = 12 - 4x eşitliği bulunur. Terimler düzenlendiğinde 2xy+4x=122xy + 4x = 12 ve 2 parantezine alınıp sadeleştirildiğinde x(y+2)=6x(y+2)=6 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
İlk eşitliği asal çarpanlarına ayırarak düzenle.
12x=(22⋅3)x=22x⋅3x=27=3312^x = (2^2 \cdot 3)^x = 2^{2x} \cdot 3^x = 27 = 3^3
Tabanları en sade (asal) hale getirerek ortak tabanlar arasında ilişki kurmak gerekir.
2
22x2^{2x} ifadesini yalnız bırakarak xx'li terimleri grupla.
22x=333x=33−x2^{2x} = \frac{3^3}{3^x} = 3^{3-x}
İki denklem arasında köprü kurabilmek için eşitliğin bir tarafını sadece 2 tabanına, diğerini 3 tabanına dönüştürmek gerekir.
3
İkinci eşitliği 2 ve 3 tabanında ifade et.
3y=16=24⇒24=3y3^y = 16 = 2^4 \Rightarrow 2^4 = 3^y
Birinci denklemden elde edilen yapı (2a=3b2^a = 3^b) ile karşılaştırma yapabilmek için.
4
Aynı tabanların üslerini oranla.
2x4=3−xy\frac{2x}{4} = \frac{3-x}{y}
an=bma^n = b^m ve ak=bpa^k = b^p ise nk=mp\frac{n}{k} = \frac{m}{p} kuralı uygulanır.
5
İçler dışlar çarpımı yaparak istenen ifadeyi oluştur.
2x⋅y=4⋅(3−x)⇒2xy=12−4x⇒2xy+4x=122x \cdot y = 4 \cdot (3-x) \Rightarrow 2xy = 12 - 4x \Rightarrow 2xy + 4x = 12
Denklemi çözerek soruda sorulan formata (x(y+2)x(y+2)) yaklaşmak.
6
Sonucu sadeleştir.
2x(y+2)=12⇒x(y+2)=62x(y+2) = 12 \Rightarrow x(y+2) = 6
Soruda istenen ifadenin net değerini bulmak.

Key Concept

Üslü denklemlerde taban ayrıştırma ve üs oranlama özelliği

Hints

1
12x=2712^x = 27 ifadesinde 12'yi asal çarpanlarına (22⋅32^2 \cdot 3) ayırıp 22x2^{2x}'i yalnız bırakınız.
2
Elde ettiğiniz 22x=33−x2^{2x} = 3^{3-x} eşitliği ile 24=3y2^4 = 3^y eşitliğini alt alta yazarak üsler arasında orantı kurunuz.
3
Tabanları aynı olan üslü denklemlerde 2x4=3−xy\frac{2x}{4} = \frac{3-x}{y} oranını kullanarak içler dışlar çarpımı yapınız.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Üslü İfadeler

More questions from this topic