Examkin

Question

Difficulty: HardÜslü İfadeler
xx ve yy gerçel sayıları için,
3x+3y=36 3^x + 3^y = 36
x+y=5 x + y = 5
eşitlikleri veriliyor. Buna göre, ∣x−y∣|x - y| ifadesinin değeri kaçtır?
  1. 1Answer
  2. B
    2
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    5

Answer

Doğru cevap 1'dir.
Verilen x+y=5x+y=5 eşitliğinden 3x+y=35=2433^{x+y}=3^5=243 elde edilir. Bu ifade 3x⋅3y=2433^x \cdot 3^y = 243 demektir. Soruda ayrıca 3x+3y=363^x + 3^y = 36 verilmiştir. Toplamları 36, çarpımları 243 olan iki sayı 27 ve 9'dur. Bu durumda 3x=273^x=27 ise x=3x=3, 3y=93^y=9 ise y=2y=2 olur. İstenen ∣x−y∣|x-y| değeri ∣3−2∣=1|3-2|=1 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Sorudaki ikinci denklemi kullanarak, 3 tabanında çarpım eşitliği oluşturulur.
x+y=5  ⟹  3x+y=35=243 x+y=5 \implies 3^{x+y} = 3^5 = 243
Üslü sayılarda toplama işleminin çarpıma dönüşmesi özelliğini kullanmak için.
2
Elde edilen ifadeyi üslü sayı kuralına göre düzenleriz.
3x⋅3y=243 3^x \cdot 3^y = 243
Tabanları aynı olan üslü sayıların çarpımında üsler toplanır kuralının tersini uygulamak.
3
Verilen iki denklemi bir sistem olarak yazarız.
Toplamları 36, çarpımları 243 olan iki sayı aranır: a+b=36 a + b = 36 , a⋅b=243 a \cdot b = 243 (a=3x,b=3ya=3^x, b=3^y)
Soruyu ikinci dereceden denklem kök bulma problemine dönüştürmek.
4
Bu şartı sağlayan sayıları buluruz.
Bu sayılar 27 ve 9'dur. (27+9=3627 + 9 = 36 ve 27⋅9=24327 \cdot 9 = 243)
Denklemi sağlayan 3x3^x ve 3y3^y değerlerini tespit etmek.
5
Bulunan değerleri x ve y'ye eşitler ve farkı hesaplarız.
3x=27  ⟹  x=3 3^x = 27 \implies x=3 ve 3y=9  ⟹  y=2 3^y = 9 \implies y=2 (veya tam tersi). ∣x−y∣=∣3−2∣=1 |x-y| = |3-2| = 1
Sonuca ulaşmak.

Key Concept

Üslü Denklemler ve Özdeşlikler

Hints

1
x+y=5x+y=5 eşitliğinin her iki tarafının 3 tabanında üssünü alarak 3x3^x ve 3y3^y arasında çarpım ilişkisi kurmaya çalışın.
2
3x+y=3x⋅3y3^{x+y} = 3^x \cdot 3^y kuralını hatırlayın. Bu durumda 3x⋅3y3^x \cdot 3^y çarpımının değeri 353^5 yani 243 olacaktır.
3
Elinizde a+b=36a+b=36 ve a⋅b=243a \cdot b=243 olan iki denklem var (burada a=3xa=3^x ve b=3yb=3^y). Hangi iki sayının toplamı 36, çarpımı 243 eder?

Practice More

Toplamları ve kareleri toplamı verilen üslü ifadelerin çarpımını bulmayı gerektiren özdeşlik soruları çözülebilir.

Alternative Method

İkinci dereceden denklem kurarak çözmek: t2−(Topkam)t+(C\carpım)=0  ⟹  t2−36t+243=0t^2 - (Topkam)t + (Çarpım) = 0 \implies t^2 - 36t + 243 = 0. Bu denklemin kökleri 3x3^x ve 3y3^y değerlerini verir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Üslü İfadeler

More questions from this topic