\frac{30^x + 15^x + 10^x + 5^x}{6^x + 3^x + 2^x + 1} = 25^{x-1} \neşitliğini sağlayan x gerçel sayısı kaçtır?

\frac{30^x + 15^x + 10^x + 5^x}{6^x + 3^x + 2^x + 1} = 25^{x-1} \neşitliğini sağlayan x ge… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

\frac{30^x + 15^x + 10^x + 5^x}{6^x + 3^x + 2^x + 1} = 25^{x-1}

eşitliğini sağlayan

x

gerçel sayısı kaçtır?

A
1
2Answer
C
3
D
4
E
5

Answer

Eşitliği sağlayan x değeri 2'dir.

Verilen kesirli ifadenin payı ve paydası gruplandırılarak çarpanlarına ayrıldığında, pay ve paydadaki

(2^x+1)

(3^x+1)

çarpanları birbirini sadeleştirir. Geriye sadece

5^x

kalır. Eşitliğin sağ tarafı olan

25^{x-1}

, 5 tabanında

5^{2x-2}

olarak yazılır. Tabanlar eşitlendiğinde

x = 2x-2

denklemi elde edilir ve buradan doğru cevap 2 bulunur.

Step-by-Step Solution

Pay kısmındaki ifadeyi ikili gruplara ayırarak ortak çarpan parantezine al.

30^x + 15^x + 10^x + 5^x = 15^x(2^x + 1) + 5^x(2^x + 1)

Dört terimli ifadelerde gruplandırma yöntemi, ortak çarpanları ortaya çıkarmak için kullanılır.

Payı

(2^x + 1)

ortak parantezine al.

(2^x + 1)(15^x + 5^x) = (2^x + 1) \cdot 5^x(3^x + 1)

Terimleri en sade çarpanlarına ayırarak payda ile sadeleşecek hale getirmek gerekir.

Payda kısmındaki ifadeyi gruplandırarak çarpanlarına ayır.

6^x + 3^x + 2^x + 1 = 3^x(2^x + 1) + 1(2^x + 1) = (2^x + 1)(3^x + 1)

Payda da aynı yapıdadır ve pay ile sadeleşecek terimler içerir.

Pay ve paydayı oranlayarak sadeleştirme yap.

\frac{5^x(3^x + 1)(2^x + 1)}{(3^x + 1)(2^x + 1)} = 5^x

Ortak çarpanlar (

3^x+1

2^x+1

) birbirini götürür.

Elde edilen ifadeyi eşitliğin sağ tarafına eşitle ve x'i bul.

5^x = 25^{x-1} \Rightarrow 5^x = (5^2)^{x-1} \Rightarrow 5^x = 5^{2x-2}

Tabanları eşitleyerek üslerin eşitliğinden sonuca gidilir.

Üsleri eşitle:

x = 2x - 2

x = 2

Tabanlar eşitse üsler de eşittir.

Key Concept

Üslü ifadelerde gruplandırarak çarpanlara ayırma ve üslü denklemlerin çözümü.

Hints

Pay ve paydadaki ifadeleri doğrudan bölmeye çalışmak yerine, her birini ayrı ayrı gruplandırarak ortak çarpan parantezine almayı deneyin.

Pay kısmında

30^x

ile

15^x

'i ve

10^x

ile

5^x

'i ikili gruplar halinde düşünün.

30^x = 15^x \cdot 2^x

özdeşliğini kullanın.

Sadeleştirme sonucunda sol taraf sadece

5^x

kalacaktır. Sağ tarafı da 5 tabanında yazarak üsleri eşitleyin.

Practice More

Benzer çarpanlara ayırma mantığını pekiştirmek için

\frac{x^3 + x^2 + x + 1}{x+1}

gibi polinom bölmesi içeren üslü ifade soruları çözülebilir.

Alternative Method

Değer verme yöntemi (test tekniği): Şıklardaki tam sayı değerleri x yerine yazılarak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilebilir. Ancak bu yöntem zaman alıcı olabilir.

Estimated Time:2m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Topics

More questions from this topic