Examkin

Question

Difficulty: HardÜslü İfadeler
(x+4)x2−4=1(x+4)^{x^2-4} = 1
denklemini sağlayan farklı xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
  1. A
    -8
  2. B
    -5
  3. -3Answer
  4. D
    -1
  5. E
    0

Answer

Denklemi sağlayan değerlerin toplamı -3'tür.
Üslü bir ifadenin sonucunun 1 olması için üç durum vardır: tabanın 1 olması, üssün 0 olması (taban ≠0\neq 0), veya tabanın -1 olması (üs çift ise). Bu soruda tabanı -1 yapan x=−5x=-5 değeri için üs tek sayı (21) çıktığından çözüm değildir. Geçerli kökler -3, 2 ve -2'dir; bunların toplamı -3 eder.

Step-by-Step Solution

1
ab=1a^b = 1 eşitliğinin sağlanması için incelenmesi gereken üç durumu belirle.
Durumlar: 1) Taban a=1a=1 olabilir. 2) Taban a=−1a=-1 olabilir (üs bb çift sayı ise). 3) Üs b=0b=0 olabilir (taban a≠0a \neq 0 ise).
Üslü ifadelerde sonucun 1 olması bu üç özel duruma bağlıdır.
2
Birinci durumu (a=1a=1) incele.
x+4=1⇒x=−3x+4 = 1 \Rightarrow x = -3.
1'in her kuvveti 1'dir. Bu kök her zaman geçerlidir.
3
İkinci durumu (a=−1a=-1) incele ve üssün çift olup olmadığını kontrol et.
x+4=−1⇒x=−5x+4 = -1 \Rightarrow x = -5. Üs kontrolü: (−5)2−4=25−4=21(-5)^2 - 4 = 25 - 4 = 21. 21 tek sayıdır, bu yüzden (−1)21=−1≠1(-1)^{21} = -1 \neq 1.
Taban -1 olduğunda sonucun +1 çıkması için üssün çift sayı olması şarttır. x=−5x=-5 bu şartı sağlamadığından çözüm kümesine alınmaz.
4
Üçüncü durumu (b=0b=0) incele ve tabanın sıfır olup olmadığını kontrol et.
x2−4=0⇒x=2x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = 2 veya x=−2x = -2. Taban kontrolü: x=2x=2 için 6≠06 \neq 0, x=−2x=-2 için 2≠02 \neq 0.
Sıfırıncı kuvvet 1'dir, ancak 000^0 belirsizdir. Taban sıfır olmadığı için her iki kök de geçerlidir.
5
Geçerli xx değerlerini topla.
Değerler: {−3,2,−2}\{-3, 2, -2\}. Toplam: (−3)+2+(−2)=−3(-3) + 2 + (-2) = -3.
Çözüm kümesindeki tüm elemanların toplamı istenmiştir.

Key Concept

Üslü Denklemlerde 1 Eşitliği

Hints

1
Bir üslü ifadenin sonucunun 1 olması için taban 1 olabilir, üs 0 olabilir veya taban -1 olabilir. Tüm bu durumları ayrı ayrı incelemelisiniz.
2
Tabanın -1 olduğu durumda, sonucun +1 çıkması için üssün mutlaka çift sayı olması gerekir. Bulduğunuz x değerini üs ifadesinde yerine koyarak deneyin.

Practice More

Benzer mantıkla (x−2)x+1=1(x-2)^{x+1}=1 denklemini inceleyerek tabanın -1 olduğu durumun geçerliliğini test edebilirsiniz.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Üslü İfadeler

More questions from this topic