Examkin

Question

Difficulty: HardÇarpanlara Ayırma
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
x3−3x2+3x−2 x^3 - 3x^2 + 3x - 2
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
  1. x^2 - x + 1Answer
  2. B
    x^2 + x + 1
  3. C
    x - 1
  4. D
    x^2 - 2x + 1
  5. E
    x^2 + 2x + 2

Answer

İfadenin çarpanlarından biri x2−x+1x^2 - x + 1 ifadesidir.
Verilen ifade (x−1)3−1(x-1)^3 - 1 şeklinde düzenlendiğinde, iki küp farkı özdeşliği kullanılarak (x−2)(x2−x+1)(x-2)(x^2 - x + 1) çarpanlarına ulaşılır. Seçenekler arasında bu çarpanlardan biri olan x2−x+1x^2 - x + 1 bulunmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
İfadenin ilk üç terimini inceleyerek tam küp açılımına benzetme
x3−3x2+3xx^3 - 3x^2 + 3x ifadesi, (x−1)3=x3−3x2+3x−1(x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 açılımını çağrıştırır.
Çarpanlara ayırmada terim ekleyip çıkarma veya gruplandırma yapabilmek için bilinen özdeşliklere benzetmek gerekir.
2
Verilen ifadeyi (x−1)3(x-1)^3 cinsinden yazmak için düzenleme
x3−3x2+3x−2=(x3−3x2+3x−1)−1=(x−1)3−13x^3 - 3x^2 + 3x - 2 = (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - 1 = (x-1)^3 - 1^3
İfadeyi iki küp farkı özdeşliğine dönüştürerek çarpanlarına ayırılabilir hale getirmek.
3
İki küp farkı özdeşliğini uygulama: a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)
Burada a=x−1a = x-1 ve b=1b = 1 alınırsa:
((x−1)−1)⋅((x−1)2+(x−1)(1)+12)((x-1) - 1) \cdot ((x-1)^2 + (x-1)(1) + 1^2)
Özdeşliği kullanarak ifadeyi çarpım durumuna getirmek.
4
Parantez içlerini düzenleyerek en sade hali bulma
Birinci çarpan: (x−2)(x - 2)
İkinci çarpan: (x2−2x+1)+(x−1)+1=x2−x+1(x^2 - 2x + 1) + (x - 1) + 1 = x^2 - x + 1
Sonuç: (x−2)(x2−x+1)(x-2)(x^2 - x + 1)
Seçeneklerdeki doğru çarpanı tespit etmek.

Key Concept

İki Küp Farkı ve Tam Küp Açılımı

Hints

1
İfadenin ilk üç terimi (x3−3x2+3xx^3 - 3x^2 + 3x), tanıdık bir özdeşliğin açılımına benzemektedir.
2
Bu ifadeyi (x−1)3(x-1)^3 açılımına benzetmeye çalışın. Sabit sayı olan -2'yi nasıl parçalayabileceğinizi düşünün.
3
İfadeyi (x−1)3−1(x-1)^3 - 1 şeklinde yazın ve a3−b3a^3 - b^3 (iki küp farkı) özdeşliğini uygulayın.

Practice More

x^3 + 3x^2 + 3x + 9 ifadesinin çarpanlarına ayrılması sorusu ile tam küp toplamı ve terim ekleme konusunu pekiştirin.

Alternative Method

Polinom bölmesi yöntemi: Seçeneklerdeki ifadelerin köklerini deneyerek (örneğin x=2 kökü denklemi sağlar mı?) veya ifadeyi (x-2)'ye bölerek diğer çarpan bulunabilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Çarpanlara Ayırma

More questions from this topic