Examkin

Question

Difficulty: Very hardÇarpanlara Ayırma
xx gerçel sayısı için,
x4+64x2−4x+8=14x \frac{x^4 + 64}{x^2 - 4x + 8} = 14x
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, xx'in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    -10
  2. B
    8
  3. 10Answer
  4. D
    14
  5. E
    18

Answer

x değerlerinin toplamı 10'dur.
Verilen ifadenin payı olan x4+64x^4 + 64, terim ekleyip çıkarma yöntemiyle (x2+4x+8)(x2−4x+8)(x^2+4x+8)(x^2-4x+8) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Bu işlem sonucunda paydadaki ifade ile sadeleşme gerçekleşir ve geriye x2+4x+8x^2+4x+8 kalır. Bu ifade 14x14x'e eşitlendiğinde x2−10x+8=0x^2-10x+8=0 denklemi elde edilir. Kökler toplamı formülü (−b/a-b/a) uygulandığında cevap 10 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Paydaki x4+64x^4 + 64 ifadesini çarpanlarına ayırmak için terim ekleyip çıkararak tam kareye tamamlama yöntemi uygulanır.
x4+64=x4+16x2+64−16x2=(x2+8)2−(4x)2x^4 + 64 = x^4 + 16x^2 + 64 - 16x^2 = (x^2 + 8)^2 - (4x)^2
Bu ifade Sophie Germain özdeşliği kullanılarak çarpanlarına ayrılabilir.
2
Elde edilen iki kare farkı ifadesi açılır.
(x2+8−4x)(x2+8+4x)=(x2−4x+8)(x2+4x+8)(x^2 + 8 - 4x)(x^2 + 8 + 4x) = (x^2 - 4x + 8)(x^2 + 4x + 8)
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) özdeşliği kullanılır.
3
Kesirli ifade sadeleştirilir.
(x2−4x+8)(x2+4x+8)x2−4x+8=x2+4x+8 \frac{(x^2 - 4x + 8)(x^2 + 4x + 8)}{x^2 - 4x + 8} = x^2 + 4x + 8
Pay ve paydadaki ortak çarpan olan (x2−4x+8)(x^2 - 4x + 8) sadeleşir.
4
Elde edilen ifade verilen eşitliğin sağ tarafına (14x14x) eşitlenerek ikinci dereceden denklem oluşturulur.
x2+4x+8=14x⇒x2−10x+8=0x^2 + 4x + 8 = 14x \Rightarrow x^2 - 10x + 8 = 0
Denklemin köklerini bulmak veya kökler toplamını hesaplamak için standart forma getirilir.
5
İkinci dereceden denklemin kökler toplamı hesaplanır.
x1+x2=−ba=−−101=10x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-10}{1} = 10
ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 denklemi için kökler toplamı −b/a-b/a formülü ile bulunur.

Key Concept

Terim Ekleyip Çıkararak Çarpanlara Ayırma (Sophie Germain Özdeşliği)

Hints

1
x4+64x^4 + 64 ifadesini çarpanlarına ayırmak için ifadeyi (x2+8)2(x^2+8)^2 tam karesine benzetmeye çalışın.
2
İfadeye 16x216x^2 ekleyip çıkararak iki kare farkı oluşturun: (x2+8)2−(4x)2(x^2+8)^2 - (4x)^2.

Practice More

x4+4x^4 + 4 ifadesinin çarpanlarını bulmayı deneyerek bu yöntemi pekiştirin.

Alternative Method

Polinom bölmesi yaparak x4+64x^4+64 ifadesini x2−4x+8x^2-4x+8 ifadesine bakkal bölmesi yöntemiyle de bölebilirsiniz, ancak bu daha uzun sürer.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Çarpanlara Ayırma

More questions from this topic