Examkin

Question

Difficulty: HardÇember ve Daire

O merkezli ve yarıçapı 44 cm olan bir çeyrek çember verilmiştir. Bu çeyrek çemberin dik kenarlarından biri olan [OA][OA] çap kabul edilerek, çeyrek çemberin içine bir yarım çember çiziliyor. Çeyrek çemberin diğer dik kenarının uç noktası olan B noktasından bu yarım çembere çizilen teğetin değme noktası T'dir.

Buna göre, ∣BT∣|BT| uzunluğu kaç cm'dir?

  1. A
    232\sqrt{3}
  2. 4Answer
  3. C
    252\sqrt{5}
  4. D
    424\sqrt{2}
  5. E
    6

Answer

Teğet uzunluğu 4 cm'dir.
Soruda verilen geometrik yapıda iki adet dik üçgen oluşmaktadır. İlk olarak, yarım çemberin merkezi (KK) ile BB noktası arasındaki mesafe, OO noktasındaki diklik kullanılarak bulunur (∣BK∣=20|BK|=\sqrt{20}). İkinci olarak, merkezden teğete inilen yarıçapın dikliği (KT⊥BTKT \perp BT) kullanılarak KTBKTB dik üçgeni oluşturulur. Burada ∣KT∣=2|KT|=2 (yarım çemberin yarıçapı) ve hipotenüs ∣BK∣=20|BK|=\sqrt{20} olduğu için, ∣BT∣2+22=(20)2|BT|^2 + 2^2 = (\sqrt{20})^2 eşitliğinden ∣BT∣=4|BT|=4 bulunur. İlginç bir geometrik özellik olarak, bu özel kurguda teğet uzunluğu çeyrek çemberin yarıçapına eşittir.

Step-by-Step Solution

1
Şekli zihinde canlandırın veya çizin: O merkezli çeyrek çemberin yarıçapı R=4R=4 cm'dir. Yarım çemberin çapı [OA][OA] olduğuna göre, yarım çemberin merkezi KK noktası [OA][OA]'nın orta noktasıdır ve yarıçapı r=2r=2 cm'dir.
∣OK∣=2|OK| = 2 cm, ∣OB∣=4|OB| = 4 cm (Çeyrek çemberin diğer yarıçapı).
Geometrik şeklin elemanlarını ve ölçülerini tanımlamak çözümün temelidir.
2
Yarım çemberin merkezi olan KK noktası ile BB noktasını birleştiren doğru parçasının uzunluğunu (∣BK∣|BK|) Pisagor bağıntısı ile hesaplayın. △KOB\triangle KOB dik üçgendir (OO köşesi dik).
∣BK∣2=∣OK∣2+∣OB∣2⇒∣BK∣2=22+42=4+16=20|BK|^2 = |OK|^2 + |OB|^2 \Rightarrow |BK|^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20.
Teğet uzunluğunu bulmak için oluşturulacak dik üçgenin hipotenüsünü bulmak gerekir.
3
BB noktasından yarım çembere çizilen teğetin değme noktası TT ile merkez KK birleştirilir. Merkezden teğete inen yarıçap diktir ([KT]⊥[BT][KT] \perp [BT]). △KTB\triangle KTB dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayın.
∣BK∣2=∣KT∣2+∣BT∣2⇒20=22+∣BT∣2|BK|^2 = |KT|^2 + |BT|^2 \Rightarrow 20 = 2^2 + |BT|^2.
Bir çemberde merkezden teğet noktasına çizilen yarıçapın teğete dik olması kuralı kullanılır.
4
Elde edilen denklemden ∣BT∣|BT| değerini çekin.
20=4+∣BT∣2⇒∣BT∣2=16⇒∣BT∣=420 = 4 + |BT|^2 \Rightarrow |BT|^2 = 16 \Rightarrow |BT| = 4 cm.
Sonucu bulmak için son aritmetik işlem yapılır.

Key Concept

Bir çemberde merkezden teğet noktasına çizilen yarıçap teğete diktir. Bu özellik sayesinde dik üçgenler oluşturularak uzunluk hesabı yapılabilir.

Hints

1
Yarım çemberin merkezi ile teğet noktası T'yi birleştiren bir doğru parçası çizmeyi deneyin.
2
Çember merkezinden teğet noktasına çizilen yarıçapın, teğet doğrusuna dik olduğunu hatırlayın (KT⊥BTKT \perp BT).
3
Önce B noktası ile yarım çemberin merkezini birleştirerek bir Pisagor bağıntısı uygulayın, ardından oluşan yeni dik üçgende (KTBKTB) ikinci bir Pisagor bağıntısı uygulayın.

Practice More

Benzer bir kurguda, yarım çember yerine tam çemberin karenin içine çizildiği ve köşeden teğet çizildiği soruları inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Analitik Geometri ile çözüm: O noktasını orijin (0,0)(0,0) kabul edin. A (4,0)(4,0) ve B (0,4)(0,4) olur. Yarım çember merkezi K (2,0)(2,0) ve yarıçapı 22'dir. B noktasından K merkezli çembere çizilen teğetin uzunluğu formülü veya iki nokta arası uzaklık formülü ile yine 44 bulunur.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Çember ve Daire

More questions from this topic